Только тригонометрические ф-и являются периодическими?

Verochka

Помню, прочёл в учебнике алгебры за 11 класс, что в матане доказано, что только тригонометрические ф-и являются единственными периодическими. Матан прошёл давно, но доказательство там так и не встретил. Как доказать?
Ф-и также должны быть непрерывные, бесконечно дифференцируемые, и не должны содержать в себе sin, cos (типа exp(sin(x.
И главное: она должна быть аналитической.

Sergey79

да полно периодических, не только тригонометрические

Lokomotiv59

возможно имелись ввиду аналитические функции?

Vlad128

ну вот sin(cos(x — аналитическая функция? периодическая? тригонометрическая?
ну или просто sin^2(x) или e^sin(x) :)

tester1

Как доказать?
никак
функция, ставящая числу в соответствие дробную часть этого числа, периодическая, но уж никак не тригонометрическая
а функция Дирихле - периодическая, но не имеет наименьшего положительного периода (любое положительное рациональное число является её периодом)

Vlad128

кстати, включу-ка телепатию.
возможно, там имелось в виду, что единственными являются пара функций, которые периодические, удовлетворяют всяким там свойствам вроде f(x)^2 + g(x)^2 = 1, и там еще списочек небольшой, ну и гладкость в довершение. м? Это называется аксиоматическое построение триг. функций, книжки, к сожалению, подсказать не могу.

mtk79

Помню, прочёл в учебнике алгебры за 11 класс
Не читайте перед обедом советские учебники алгебры за 11 класс

fabio

> советские учебники алгебры
россиянские же - при советской власти учили до 10 класса

Boris

книжки, к сожалению, подсказать не могу.
Ильин, Позняк, первый том же.

Vlad128

ну наверное :) я просто забыл, по какой мы на ВМК учились :)
А, да, Ильин Садовничий Сендов! Во! В нем тоже есть.

Verochka

Скажу по-другому: непрерывные, бесконечно дифференцируемые, которые также не содержат в себе sin, cos (типа exp(sin(x.

lenmas

Ф-и также должны быть непрерывные, бесконечно дифференцируемые, и не должны содержать в себе sin, cos (типа exp(sin(x.
А эллиптические синусы, косинусы тебе не подходят? Тоже периодические.

Verochka

Но они в себе тоже ж содержат sin, по-моему, пусть и через интеграл. Кстати, а для чего они нужны?

lenmas

Но они в себе тоже ж содержат sin, по-моему, пусть и через интеграл. Кстати, а для чего они нужны?
Ну как для чего. Для приложений конечно же. Через них записывается решение уравнения движения маятника,
движение спутника в гравитационном поле Земли сплюснутом тоже через них точно записывается.
Я думаю, физики еще много чего могут привести в качестве примера. Притяжение эллипсоидов вроде описывается
через них (Якоби вроде с этими целями их и вводил не считая, что длина дуги эллипса выписывается через неполные эллиптические интегралы.

chyk2005

Скажу по-другому: непрерывные, бесконечно дифференцируемые, которые также не содержат в себе sin, cos (типа exp(sin(x.
[math]f(x)=1[/math] же

blackout

sin(0) же.
Upd: в смыслке cos(0) :o

Vlad128

f(x) = sin^2(x) + cos^2(x) :umnik:

antcatt77

Как доказать?
Начать, имхо, можно с:
У периодической функции есть обязательно минимальная и максимальная точка. В этих точках - касательная горизонтальная и в этих точках первая производная меняет знак.
В нижней точке, функция выше касательной, в верхней - функция ниже касательной => существует точка, где вторая производная меняет знак.
..
Потом к этому прикрутить, что производные тоже периодические функции, и для них должно быть справедливо всё тоже самое.
В ряде выводов используется, что периодическая функция не может состоять только из линейных кусков.

scorobei42ru

че за бред? это тонкий троллинг такой у вас? как можно доказать нечто, что даже не сформулировано?

antcatt77

че за бред? это тонкий троллинг такой у вас? как можно доказать нечто, что даже не сформулировано?
формулировка - есть. Извраты с sin^2x + cos^2 не считаются, т.к. это вырожденное использование sin/cos, c таким же успехом можно говорить, что в любой функции f есть любая другая функция k: f(x) = g(x) * 1^k(x) или f(x) = g(x) + 0*k(x).
Чтобы повысить формализацию можно расписать, что функция на содержание sin/cos проверяется после процедуры упрощения, а также зафиксировать правила упрощения.
ps
в лоб построить контрпример у меня не получилось (например, используя кусочно-экспонециальную функцию соответственно, может исходное утверждение и верное.

antcatt77

[math]f(x)=1[/math] же
У константной функции нет основного периода.
Скорее всего это надо добавить в исходную формулировку, что рассматриваются только периодические функции имеющие основной период.

antcatt77

че за бред? это тонкий троллинг такой у вас? как можно доказать нечто, что даже не сформулировано?
Вариант, что ТС - хочет странного (или на менее политкорректном языке: совсем упоролся и несет бред) - слишком скучный.
Интереснее для рассмотрения вариант, что ТС прав, но условие задачи неполное и в нем не хватает нескольких доп. условий. И намного интереснее, эти доп. условия восстановить, а потом задачу решить.

Verochka

Добавил условие: она должна быть аналитической.

scorobei42ru

чего тут восстанавливать? так можно договориться до того, что единственные трансцендентные числа - это пи и е. а чё, другие же мы записывать не умеем, значит их нет

scorobei42ru

по-нормальному такие задачи формулируются так: определяется поле основных функций и допустимые способы расширения этого поля. а потом ставится вопрос: а все ли периодические функции с определенными свойствами принадлежат какому-то расширению исходного поля?

antcatt77

по-нормальному такие задачи формулируются так: определяется поле основных функций и допустимые способы расширения этого поля.
Так формулируются только прямые задачи.
Намного интереснее обратные задачи с формулировками: при каких условиях задача имеет решение? при каких условиях единственное решение? и т.д.

alex124

елси бы ты сказал, что любую периодическую функцию можно выразить через тригонометрические - то Фурье тебе в помощь...в остальном как то не очень...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: