Вопрос по численным методам.
Есть книжка по многосеточным методам. Могу дать почитать, там все довольно хорошо написано.
На пальцах если - это рекурсивное применение двухсеточного метода для уменьшения сложности вычислений. Среди многосеточных методов есть еще различие по числу рекурсий... Больше вряд ли смогу сказать больше, т.к. мало что в этих методах понимаю.
На пальцах если - это рекурсивное применение двухсеточного метода для уменьшения сложности вычислений. Среди многосеточных методов есть еще различие по числу рекурсий... Больше вряд ли смогу сказать больше, т.к. мало что в этих методах понимаю.
многосеточный метод решения системы алгебраических линейных уравненийФормально говоря такого метода не существует. Он появляется, когда речь идет о численном решении УрЧП. Для ОДУ техническая сложность на 2-3 порядка меньше, но принцип тот же
решить многосеточным метод полученную системуК сожалению, так просто не получится. Будет набор систем разных размерностей, операторы проекции-интерполяции приближения, сглаживания итерационными методами (простой итерации, Гаусса-Зейделя и тп) на мелких сетках, точный решатель на грубой сетке (декомпозиции, Гаусса и тд). Все это будет организовано в V или W-циклы…
Итерируем начальное приближение на мелкой сетке, проецируем на грубую (только не решение, а невязку) решаем уравнение точно, интерполируем решение на мелкую, получаем более точное приближение – вот один V-цикл на двух сетках
а как доказывать или проверять, что сеточное решение сходится к точному решению?
какие есть условия?
какие есть условия?
Чтобы проверить, что сеточное сходится к точному, можно взять простой пример, для которого известно это самое точное решение, и сверять значения точного решения в узлах сетки (например прямоугольной) со значением сеточного решения.
Если для примера с известным решением результат такой проверки устраивает, то применять алгоритм дальше и верить, что он работает
Если совсем нету УРЧПа с известным решением, для которого подойдет алгоритм, то просто верить, что полученное сеточное решение - это то, что мы ищем
Вообще можно и доказывать, но это очень трудоемко...
Если для примера с известным решением результат такой проверки устраивает, то применять алгоритм дальше и верить, что он работает
Если совсем нету УРЧПа с известным решением, для которого подойдет алгоритм, то просто верить, что полученное сеточное решение - это то, что мы ищем
Вообще можно и доказывать, но это очень трудоемко...Здорово Но решение знать не обязательно
Берешь любую гладкую функцию U(x подставляешь в (дифференциальное) уравнение, получаешь некоторую правую часть F(x). Теперь численно решаешь задачу с правой частью равной ограничению F(x) на сетку и краевыми условиями равными ограничению U(x) на сеточную границу. Проверяешь сходимость к U(x она должна быть по порядку равна порядку аппроксимации схемы.
Так можно проверить любую схему для любого уравнения. Если задача нестационарная, то U=U(x,t) и т.д.
Специфика тестирования многосеточного метода: в разложенииU(x) должны присутствовать как высокочастотный, так низкочастотный спектр задачи, тк сглаживания режут высокие гармоники, а сами циклы мультигрида – низкочастотные. Иначе получится фантастическая скорость сходимости, какой не бывает
Но решение знать не обязательноБерешь любую гладкую функцию U(x подставляешь в (дифференциальное) уравнение, получаешь некоторую правую часть F(x). Теперь численно решаешь задачу с правой частью равной ограничению F(x) на сетку и краевыми условиями равными ограничению U(x) на сеточную границу. Проверяешь сходимость к U(x она должна быть по порядку равна порядку аппроксимации схемы.
Так можно проверить любую схему для любого уравнения. Если задача нестационарная, то U=U(x,t) и т.д.
Специфика тестирования многосеточного метода: в разложенииU(x) должны присутствовать как высокочастотный, так низкочастотный спектр задачи, тк сглаживания режут высокие гармоники, а сами циклы мультигрида – низкочастотные. Иначе получится фантастическая скорость сходимости, какой не бывает
Оставить комментарий
Elman83
Что такое многосеточный метод решения системы алгебраических линейных уравнений? Точнее, в задаче требуется построить разностную схему второго порядка точности для ОДУ, и решить многосеточным метод полученную систему.