норма у оператора действующего из L2[0,1] в себя

kora_duba

Кто-нибудь знает, какая норма у оператора
------------------x
(Afx) = (1/x) * ( S f(t)dt ) , действующего из L2[0,1] в себя?
------------------0
(S - это интеграл Лебега от 0 до x
Как оценить, где достигается?
Это Бородин дал задачу со звёздочкой, очень хочется решить...

iri3955

Он, вроде как неограничен:
f(x) = x^{a-1}, a > 0
тогда \frac 1x \int_0^x f(x)dx = x^{a-1}/a - норма увеличилась в 1/a раз
Так как |A| = \sup\frac{|Af|}{|f|}, то этот супремум равен бесконечность

ARTi

при 0<a<=1/2 данная функция не лежит в л2, и противоречия никакого нет
но из твоего поста ясно, что как минимум норма равна 2 (при стремлении а к 1/2 сверху)

iri3955

Блин, правда.... проглючило. Но из поста не видно, что норма равна 2, видно, что больше либо равна

kora_duba

Всем спасибо за помощь, задача решена, норма действительно равна 2
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: