[тч] намекните

evor

нашёл в инете асимптотическую оценку для функции эйлера, как её доказать?
[math]$\phi(n)\geq c\frac{n}{\ln\ln n}$[/math]
*заодно можете рассказать, как формулы вставлять)

vsjshnikova

*заодно можете рассказать, как формулы вставлять)
[math]$\phi(n)\geq c\frac{n}{\log\log n}$[/math]

[math]$\phi(n)\geq c\frac{n}{\log\log n}$[/math]

mtk79

да и \ln неплохо компилирует

assasin

Пусть [math]$\omega(n)$[/math] --- количество различных простых делителей n. Тогда
[math]$$\frac{\varphi(n)}n=\prod_{p|n}(1-1/p)\ge\prod_{\nu=1}^{\omega(n)}(1-1/p_\nu$$[/math]
где [math]$p_\nu$[/math] --- [math]$\nu$[/math]-е простое число, так что если [math]$\omega(n)=O(1)$[/math], то вообще [math]$\varphi(n)\gg n$[/math]. Пусть [math]$\omega(n)\to+\infty$[/math]. Из формулы
[math]$$\sum_{p\le x}\frac1p=\log\log x+\mathrm{const}+O(1/\log x$$[/math]
которую легко вывести, например, из азрпч (с гораздо лучшей оценкой остатка но легко доказать и непосредственно, следует, что
[math]$$\prod_{\nu=1}^{\omega(n)}(1-1/p_\nu)\sim c(\log P)^{-1},$$[/math]
где [math]$P:=p_{\omega(n)}$[/math]. (Более того, согласно теореме Мертенса, [math]$c=e^{-\gamma}$[/math], где [math]$\gamma$[/math] --- постоянная Эйлера—Маскерони.) Но, учитывая азрпч (впрочем, и оценки Чебышёва хватит за глаза имеем
[math]$$\log n\ge\sum_{p\le P}\log p=(1+o(1P,$$[/math]
откуда получаем требуемое. Более того, если n пробегает произведения первых простых чисел, то неравенства превращаются в равенства, так что получаем
[math]$$\liminf_{n\to\infty}\frac{\varphi(n)\log\log n}{n}=e^{-\gamma}.$$[/math]
P.S. Что-то как-то слишком толсто намекнул.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: