Вопрос про функцию Грина

Brodnik

Есть дифференциальный оператор в L_2[-1;1]
[math][res=130]  $$  A = \frac{d^2}{dx^2} - a^2  $$  [/math]
то есть,
[math][res=130]  $$  A \varphi (x) = \frac{d^2 \varphi(x)}{dx^2} - a^2 \varphi (x)  $$  [/math]
с нулевыми граничными условиями на краях.
Верно ли, что [math][res=130]$$ (G \psi, \psi) \geq 0 $$[/math] (скалярное произведение берется в L_2[-1;1] где [math][res=130]$$ G \psi (x) = \int^1_{-1} G(x, x') \psi (x') dx' $$[/math], a [math][res=130]$$ G(x, x') $$[/math] — функция Грина исходного оператора?
PS помню что функция Грина симметрична, значит [math][res=130]$$ (G \psi, \psi) \in R $$[/math], а т.к. она будет склеена из экспонент (у исходного оператора фундаментальные решения — экспоненты думается что она будет положительной.

seregaohota

Где-то что-то путаю вроде и что-то там у меня со знаками, страшно некогда и некуда глянуть.
Так как функция Грина это по-идее аналог фундаментального решения, только для ограниченной задачи с граничными условиями, т.е. u(x)=G(x,x0) это решение
u" - a^2 u = \delta(x-x0)
u(-1) = u(1) = 0
где в правой части дельта-функция.
Твоя G \psi это решение
u" - a^2 u = \psi(x)
u(-1) = u(1) = 0
Значит для этих конкретных u=G \psi и \psi (интегрируя \int u u" dx по частям с учётом граничных условий)
(G \psi, \psi) = \int u \psi dx = \int u (u" - a^2 u) dx = \int ( -(u')^2 - a^2 u^2) dx <= 0 :confused:
В общем (G \psi, \psi) должна давать интеграл энергии.
Где-то что-то намудрил, разберёшься - кинь сюда инфо где прокол был, please.

Brodnik

Большое спасибо, . Похоже что все именно так и есть.

mtk79

u" - a^2 u = \delta(x-x0)
u(-1) = u(1) = 0
Где-то что-то намудрил
В общем (G \psi, \psi) должна давать интеграл энергии.
-см.(!)
Из общих соображений :
A=d^2-a^2..., т.е. минус(!) одномерный оператор Шредингера (энергии) H=-d^2+a^2, т.е. "ступенька". Поэтому связ. (дискретных) состояний с отр. энергией нет, несмотря на гр. условия. Собств. значения Н — полож., а A — отрицательные. Т.е. на с.ф. (\chi) самого A, будет (\chi, A \chi) \leqslant 0 Правда, здесь требуется (как я понял) установить свойство на более широком классе функций.

Brodnik

Т.е. на с.ф. (\chi) самого A, будет (\chi, A \chi) \leqslant 0 Правда, здесь требуется (как я понял) установить свойство на более широком классе функций.

По-сути, положительности собств. значений должно хватить, т.к. система собственных функций наверняка будет ортогональна и полна в L_2[-1;1] (оператор — частный случай оператора Штурма-Лиувиля).

mtk79

нет, конечно, просто я хотел дописать (но у меня сеть вырубило что так, как сделал — гораздо эффективнее (не нужно с рядами и с.з. связываться и по сути, доказывает эти "общие соображения" просто я хотел его же сомнения насчет знакоопределенности развеять
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: