Корень из квадрата комплексного числа

Jeton89

Чему равен корень из квадрата комплексного числа?
Допустим у меня есть комплексное число [math]$z=x+iy$[/math] и я хочу найти величину [math]$\sqrt{z^2}$[/math].
Для этого можно представить [math]$z$[/math] в виде [math]$z=|z|e^{i\phi}$[/math] и записать следующую цепочку равенств:
[math]$\sqrt{z^2}=\sqrt{|z|^2e^{2i\phi}}=|z|e^{i\phi}=z=x+iy$[/math]
Однако, это не верно, так как в частном случае [math]$y=0$[/math] получается что [math]$\sqrt{z^2}=x$[/math], а не [math]$|x|$[/math] как должно быть.
Интуитивный ответ [math]$\sqrt{z^2}=|z|$[/math] тоже не верный, поскольку [math]$\sqrt{z^2}=\sqrt{x^2+2ixy-y^2}\neq|z|=\sqrt{x^2+y^2}$[/math].
Как правильно посчитать корень из квадрата комплексного числа и где ошибка в моей первой цепочке равенств?

Vlad128

ну блин.
корень из комплексного числа — функция многозначная, т.е. это множество всех w, таких, что w^2 = z.
Для действительных чисел тоже такое можно было бы ввести, но там вводят понятие арифметического квадратного корня, т.е. положительной ветви (положительный вариант хотя их там тоже два всегда. Вот арифметический и равен модулю, а просто корень (в многозначном смысле) — множество {-|x|, |x|}.
Из числа [math]$|z|e^{i\varphi}$[/math] тоже всегда два корня: [math]$\pm \sqrt{|z|} e^{i\varphi/2}$[/math]

Vlad128

Итого [math]$\sqrt{z^2} = \{z,-z\}$[/math]. Может озвучишь, где тебе это нужно, потому что чувствую, что на вопрос я не ответил :grin:

Jeton89

Как все интересно оказывается. Спасибо.
Только я не понял, почему для действительных чисел корень квадрата это {-|x|, |x|}, а не {-x,x}, который в моем понимании и есть модуль х?
Нужно в физике. Есть волновое число. В среде с поглощением оно комплексное. В ответе встретился корень из его квадрата. Вот сижу думаю что же я получил. Но похоже придется по физическому смыслу отсекать несуществующие решения, хотя ой как я не люблю это делать.

Vlad128

Только я не понял, почему для действительных чисел корень квадрата это {-|x|, |x|}, а не {-x,x}
а какая разница между этими двумя множествами?

Vlad128

Но похоже придется по физическому смыслу отсекать несуществующие решения, хотя ой как я не люблю это делать.
не факт, скорее я бы посмотрел, откуда берется этот корень и какую там именно ветвь надо выбирать, могу себе представить, что можно любую.

Jeton89

Похоже никакой :)
Но эта запись это не есть определение модуля?

Vlad128

Да, вот я там тоже не понял. Определение модуля, если смотреть по действительным числам это x, если x >=0 и -x, если x <= 0. А {x,-x} — это множество, не совсем понимаю, почему это должно быть определением модуля.

Jeton89

Ну если вдруг интересно, то вот простой пример:
Уравнение плоской волны:
[math]$\displaystyle \frac{\partial^2E}{\partial z^2}+k^2E=0$[/math]
Его можно представить в следующем виде:
[math]$\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial z}-i\sqrt{k^2}\right) \left( \frac{\partial}{\partial z}+i\sqrt{k^2}\right) E=0$[/math]
Решение записывается в виде [math]$E = E_1+E_2$[/math], где [math]$E_{1,2}$[/math] являются решением уравнений:
[math]$\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial z}\pm i\sqrt{k^2}\right)E_{1,2}=0$[/math]
Вот и получается, что для конкретного решения волновое число будет [math]$\sqrt{k^2}$[/math]. В частности, от его знака будет зависеть в какую сторону распространяется волна. Вопрос возникает в том случае если к комплексное.

Jeton89

Пошел читать про множества :)

mtk79

Его можно представить в следующем виде:
fail

Jeton89

А, да. Про мнимую единицу забыл. Спасибо что поправил.

Vlad128

Ну у тебя эти уравнения для E_1 E_2 как раз с разными знаками перед корнем. Поэтому можешь просто заменить на k вроде. Это в учебнике так написано, два уравнения и плюс и минус перед корнем из k^2?

Jeton89

В учебнике конечно же корень заменен на просто к. Там только среды без поглощения рассматривают. И вообще никто не заморачивается, а пишут сразу к. Но мне вот интересно стало. Если подходить формально, то там стоит корень из квадрата к. Хочу формального же ответа.

demiurg

Ну одно и то же ведь получается, какую ветку корня ни взять? Только E1 и E2 меняются местами. Это выше написал ункулунку

Jeton89

Ладно, распишу поподробней.
Начальное условие для уравнения возьму в виде [math]$E = E_0\cos(\omega t)$[/math]. Косинус обычно представляют в комплексной форме: [math]$\displaystyle Е =\frac{E_0}{2}e^{\omega t}+ \frac{E_0}{2}e^{-\omega t}$[/math]. Отсюда видим, что в спектре присутствуют две частоты [math]$\omega$[/math] и [math]$-\omega$[/math] (отрицательная частота физического смысла, конечно же, не имеет).
Теперь волновое число в вакууме [math]$k=\omega/c_0$[/math]. Отсюда видим, что для отрицательных частот к меняет знак и в случае если в уравнении оставить просто к, то компонента на отрицательной частоте будет распространяться в другую сторону по отношению к компоненте на положительной частоте. Поэтому правильно в уравнении писать |k|. Однако как правильно выбрать знак, если к комплексное?

Jeton89

Ну и вообще, чисто академический интерес.

Vlad128

Поэтому правильно в уравнении писать |k|
ну а там тоже будут два уравнения, где в одном перед этим модулем плюс, а в другом — минус?

Jeton89

Все так. Только я, например, хочу рассмотреть частный случай когда [math]$E = E_1$[/math], а волны распространяющейся в другом направлении нет. Плоская волна идущая, скажем, слева направо. Тогда там только одно уравнение остается с одним знаком. Второе имеет только тривиальное решение.

mtk79

хорошо, например, k=1+2i
В какую сторону распространяется волна с E_1, где выбран знак +, и в какую, противоположную первой, E_2 с выбранным минусом?

Jeton89

Не знаю. Это и хочу понять.
Вообще, если к действительно, то знак минус - волна направо (z>0 если плюс - налево (z<0). Здесь можно предположить, что нужно смотреть на действительную часть числа к, именно она определяет направление. Мнимая описывает поглощение. Однако сразу же встает вопрос какой знак стоит перед мнимой частью. Его смена может превратить поглощение в усиление.

demiurg

Чтобы выбрать волновые числа тебе нужны не только начальные условия но и граничные надо думать

Jeton89

Источник в вакууме. Границ разделов сред нету.

Jeton89

В вакууме нет поглощения конечно же, поэтому пусть это будет однородная изотропная среда заполняющая все пространство.

Vlad128

ну надо прибегнуть к физ. смыслу этого комплексного числа, подозреваю, что возможно, за направление волны отвечает знак действительной части. Но ничего такого не делал, просто догадка, но идея в этом: понять физ. смысл действительной и мнимой частей или модуля и аргумента.

Vlad128

а, это уже написано :)

Jeton89

Ну да, ты прав. В данной конкретной ситуации конечно же легко определить какой где знак выбрать. Однако в общем случае это не очевидно. И вообще, вдруг я отсекаю своим физическим смыслом какие-нибудь интересные решения?

demiurg

Иногда отсекаешь. К примеру у уравнения Клейна-Гордона вторую ветку интерпертировали как решения для античастиц, море Дирака итд (я не готов это хорошо объяснять)

Vlad128

И вообще, вдруг я отсекаю своим физическим смыслом какие-нибудь интересные решения?
ну а кто заставляет? Мне кажется, что надо так: исходя из физического смысла написать уравнение. Забыть о физическом смысле напрочь, решить уравнение полностью (если не получается, другое дело, снова вспоминать о физ. смысле, упрощать уравнение и т.д.) вспомнить о нем в самом конце для интерпретации. Т.е. вот не надо в середине, когда уравнение уже записано, задумываться о физическом смысле отрицательных чисел, просто решать дальше уравнение как оно есть, чтобы потом такими вопросами не задаваться (а вдруг что-то упутил). Или так не выходит по какой-то причине?

Jeton89

Ну смотри, уравнение для волны распространяющейся направо:
[math]$\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial z}-i\sqrt{k^2}\right)E=0$[/math]
Его решение
[math]$\displaystyle E(z)=E(z=0)e^{i\sqrt{k^2}z}$[/math]
Вот я его решил и хочу понять что же я получил. Это решение может описывать волну распространяющуюся налево или направо. Также оно описывает усиление в среде или же поглощение, в зависимости от знака мнимой части к.

Jeton89

Вот, правильно. Нельзя так просто взять и что-то выкинуть.

demiurg

Ну ты всё-такие не забывай, что это уравнение у тебя взялось не само по себе, а следствие из волнового. Поэтому там и другая часть обязательно есть. Собственно поэтому ты и ставишь k из дисперсионных соотношений полученных раньше, а не определяешь здесь k заново

Jeton89

Ну я согласен насчет направления. Это вопрос начального выбора. Но то что у меня может поглощение усилением сменяться в зависимости от выбора направления - это уже ни в какие ворота не лезет.
Отклик среды дает мне вполне определенный знак мнимой части к. Он не зависит от того есть в среде поле или нет.

Vlad128

ну это уже вопрос к тем, кто k задает (а какое у него соотношение знаков действительной и мнимой части, я не понимаю о чем речь, к сожалению а не к квадратному корню.

Jeton89

Сам к имеет вполне определенный вид с вполне определенными знаками мнимой и действительной части.
Пусть например, действительная и минимая часть положительны. В это же время корень из квадрата к допускает отрицательное к, т.е. в ответе будет стоять отрицательная мнимая часть. Знак мнимой части определяет усиливается волна в среде при прохождении либо поглощается (это видно из приведенного решения уравнения).

demiurg

Я думаю, что если будет реальная задача, то в ней этих вопросов не возникнет.
P.S. При квадратном корне фаза двух ветвей отличается на pi, что значит что и действительная и комплексная часть меняет знак. То есть меняется и направление и поглощение/усиление.

Jeton89

Тут Гимли мне случайно в приват ответил
Ну может если у тебя изотропная среда то комплексная фаза k всегда будет меньше pi, и тогда действительная часть будет в любом случае положительная :)
Фаза к сама по себе роли не играет. Из решения, которое я написал видно, что в степени экспоненты остается множитель +ikz или -ikz. Соответственно знак мнимой части сам по себе определяет происходящее в среде.

Vlad128

ну ты должен выбрать уже при записи уравнения, какой у тебя там рассматривается корень: k или -k, в ответе получится то же самое. Т.к. у тебя там в уравнении минус стоит,то логично в ответе рассмотреть корень с положительными мнимой и действительной частью (вроде так согласуется с действительным случаем). Или не согласуется?

mtk79

а разве не очевидно, что если в одном направлении плоская волна затухает — то в противоположном — усиливается?

Jeton89

Нет. Иначе если на какую-нибудь среду посветить с одной стороны и убедиться что она поглощает, то если посветить с другой стороны она должна усиливать.

demiurg

Это не в приват, это я написал потом подумал что лажа и стёр

Jeton89

А как ко мне попало? =)

demiurg

А не факт, что эта фраза останется справедливой если ты правильно напишешь уравнения.
Если у тебя с одной стороны уже стоит источник, то разве не логично что волна подходящая к нему усиливается?

Vlad128

О, а я понял твои сомнения, кстати.
Типа если рассмотреть функцию sqrt{z^2} на какой-нибудь единичной окружности и выбрать одну ветвь, например z, то при попадании на горизонтальную ось мы получим sqrt{(-5)^2} = -5, хотя хотелось бы как в действительном случае получить 5, ну да, тут оно все так, там другая ветвь в 5 приходит. Да, я понял, что тебя смущает, я еще подумаю!

demiurg

Заметил наверное перед тем как я стёр

Jeton89

Кстати, хорошее замечание. В исходном уравнении квадрат к стоит. То есть на момент написания уравнения знак не важен.
Но он важен по отношению к каждому частному решению. В общем, у меня каша в голове.

mtk79

Нет. Иначе если на какую-нибудь среду посветить с одной стороны и убедиться что она поглощает, то если посветить с другой стороны она должна усиливать.
К сожалению, это бред. Вы посветите с одной стороны и убедитесь в поглощении. Потом посветите с другой стороны и убедитесь в поглощении

Jeton89

Ага, как-то так.

Jeton89

О чем и речь. А согласно получающемуся решению есть ассиметрия.

demiurg

Потому что ты светишь с разных сторон, то есть меняешь граничные условия :)

Jeton89

Тут вопрос в выборе направления оси z, в конечном счете. В зависимости от этого выбора меняются условия распространения.

demiurg

Главное убедиться что ты перекидываешь ось/объекты на ней чётное число раз! :)

Jeton89

Если б я перекидывал я об этом позаботился бы уж точно :)
К сожалению, я этот выбор должен сделать один раз и навсегда. Своим выбором нарушаю симметрию мироустройства =)

Vlad128

ну тут я разобрался, вроде, правда хз, как тебе это поможет, мне кажется, надо не юлить, а решать просто уравнение, благо это k там константа. Т.е. выписать уравнение, явно выписать этот корень как число. Выбрать из тех двух уравнений то, которое по твоему мнению имеет физический смысл и т.д. Вот написать так w = корень из k^2 = k. И дальше везде писать w. Ну я об этом уже писал. Короче, не тягать этот корень, чтобы он не сбивал с толку.
А про похожесть на модуль вот: можно определить так комплексный корень из числа z: это тот из двух корней, у которого действительная часть положительная. Тогда он будет похож на тот модуль действительный. Но проблем тут все равно не избежать, когда оба корня чисто мнимые, это определение не дает способа выбрать. Т.е. например, k = i => k^2 = -1, корень из -1 = ? у i и у -i нулевая действительная часть. Мораль в первом абзаце.

Jeton89

Спасибо за разъяснения.
Я в конечном счете поступаю согласно твоему совету. Но меня мысль гложет, что существует другое решение, ничем не хуже первого, с точки зрения теории. Оно дает нефизичное решение, но тоже решение. Что это? Ошибка теории или в теории наш мир разнообразнее? Просто в своих расчетах я первый раз с такой неоднозначностью встречаюсь.
Кроме того, здесь я расписал простейший случай плоских волн. Однако в моей проблеме все несколько сложнее. Величина к для различных частот имеет различный знак. И я наперед не знаю почему эти частоты должны идти налево, а эти направо, а не наоборот. Т.е. сама к - знакопеременная функция частоты. В итоге пытаюсь гадать.

mtk79

А Вы случайно не бот юзера АДМ*** ?

Jeton89

Нет конечно. Согласно его воззрениям мировозренческие вопросы не имеют отношения к науке.

mtk79

ну дело не в мировоззренческих вопросах в науке — а в способе преодоления критики. А он — один и тот же: проигнорировать, если указывают конкретно, где лажа, вернуться на шаг назад, на позицию до критике, и продолжать пребывать в своем карточном домике. И а про удивительное мироздание, при этом допускающее нефизическое с т.з. химика решение, вещать в этом мирке уж точно ничего не мешает

Jeton89

Слушай, я здесь флудить не хочу.
Я вроде ни одного критического замечания не пропустил, на все постарался ответить.
Если хочешь обсудить какой я козел, давай сделаем это в привате или в другой теме.

mtk79

я не собираюсь обсуждать приверженность ни к какой категории парнокопытных.
 
Я вроде ни одного критического замечания не пропустил, на все постарался ответить.

да, после всех критических замечаний, что оба решения физически эквивалентны, Ваше итоговое резюме:
Но меня мысль гложет, что существует другое решение, ничем не хуже первого, с точки зрения теории. Оно дает нефизичное решение, но тоже решение. Что это? Ошибка теории или в теории наш мир разнообразнее? Просто в своих расчетах я первый раз с такой неоднозначностью встречаюсь.

напишите это в диссертации

Jeton89

Еще раз. Решение уравнения (получено формально без привлечения физических рассуждений):
[math]$\displaystyle E(z)=E(z=0)e^{i\sqrt{k^2}z}$[/math]
Распадается на два
[math]$\displaystyle E_+(z)=E(z=0)e^{+ikz}$[/math]
и
[math]$\displaystyle E_-(z)=E(z=0)e^{-ikz}$[/math]
Волновое число [math]$k=k_0+i\alpha$[/math]. Отсюда
[math]$\displaystyle E_+(z)=E(z=0)e^{+ik_0z}e^{-\alpha z}$[/math]
[math]$\displaystyle E_-(z)=E(z=0)e^{-ik_0z}e^{\alpha z}$[/math]
Рассматривается область [math]$z>0$[/math].
Тебе надо объяснить почему эти два решения различны и описывают разные физические ситуации?

demiurg

Тут как-то хуёво формулы записаны :) Не пойму как связаны, а в данном случае мелочи важны.

Jeton89

А что не понятно?
Не, я может быть тупой. Но ткните меня в это, если это настолько очевидно.

mtk79

Да, объясните, пожалуйста.
Я утверждаю, что оба описывают одно и то же: изотропная среда либо поглощающая* вне зависимости от направления лазерного лучика — либо усиливающая
Поглощающая означает, что ВДОЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЛУЧА амплитуда убывает.

demiurg

Как первое равенство "распадается" на два следующих?

Jeton89

Я здесь вижу, что решение [math]$E_+$[/math] описывает набег постоянной фазы [math]$+k_0z$[/math] и затухание по экспоненциальному закону на характерном расстоянии [math]$1/\alpha$[/math]. В решении [math]$E_-$[/math] набег постоянной фазы отрицательный [math]$-k_0z$[/math] и усиление на соответствующей дистанции. Поскольку абсолютная фаза не важна, то не важно здесь отрицательна она или положительна. А вот поглощение либо усиление важно и оно различно. Еще раз напомню, что изначально рассматривается распространение вдоль оси [math]$z>0$[/math].

Jeton89

Ну в качестве [math]$\sqrt{k^2}$[/math] я могу выбрать либо +к, либо -к. Соответственно две ситуации.

Vlad128

вот, а в действительном случае тебе это понятно? Это важно.

demiurg

Ok, ты забыл второе решение изначально, где минус корень.

Jeton89

Вроде да. У меня теперь затык с мнимой частью только остался.

mtk79

Еще раз: одна волна, идентифицируемая с направлением распространения вдоль z, описывает ослабление. Вторая, идентифицируемая с направлением распространения против z, описывает усиление. И наоборот. Где противоречие-то?

Jeton89

Которое [math]$E_2$[/math] обозначил?

demiurg

Да. Поэтому когда ты здесь выберешь один знак, то второй вариант придёт из той части — у тебя будут оба.

Jeton89

[math]$E(z=0)$[/math] у обеих этих волн одинаково. Т.е. если в одном случае начальная амплитуда будет расти, то в другом убывать. Я не понимаю почему это кажется тебе нормальным. Или тут аналогия с обращением времени назад?

Jeton89

Ну я вроде [math]$E_2$[/math] положил равным нулю. Хочу изначально рассматривать распространение только в одну сторону. Если нет никаких отражений, то откуда возникнет ситуация что существуют волны сразу с двумя знаками?

mtk79

мне кажется нормальным: вот единая физическая ситуация

я даже стрелочку подправил.
что в этом ненормального?

demiurg

Ну я вроде положил равным нулю.
А как это ты так "положил"? Хочешь делать формально — делай формально всё, с начала — и до конца. А то сначала "положил", а потом удивляешься что формально получается не всё, и надо ещё что-то "положить".

Jeton89

О, круто! Кажись дошло. Сейчас только переварю немного.

Jeton89

Это я начальное условие так выбрал, чтобы E2 было равно нулю. Вроде это не запрещено.
Там вот выше силиконец картинку хорошую нарисовал. Ее вроде достаточно для объяснения. Щас только еще подумаю.

demiurg

Эту картинку мы с силиконцем тебе словами до этого раз 6 формулировали. Я бросил, и зашёл с другой стороны, подумал что может у тебя так в чём другом вопорс.

Jeton89

А как тогда интерпретировать ситуацию вот во этом моем посте: ? Там вроде следует, что произвола в выборе знака нет и нужно брать модуль к.

Jeton89

Честно все перечитал. Ни из одного сообщения без картинки я бы не смог понять о чем речь.

Jeton89

Ладно, я наверное тупой и не понимаю как поля устроены.

mtk79

я ничего не понял, как соотносится "выбор начального условия как функция t" с Вашими двумя решениями, зависящими от z.

Jeton89

[math]$\displaystyle E_+(z)=E(z=0)e^{+ik_0z}e^{-\alpha z}$[/math]
[math]$\displaystyle E_-(z)=E(z=0)e^{-ik_0z}e^{\alpha z}$[/math]
[math]$\displaystyle E(z=0)=E_0\cos(\omega t)=\frac{E_0}{2}e^{i\omega t}+\frac{E_0}{2}e^{-i\omega t}$[/math]
[math]$\displaystyle E_\pm(z)=\frac{E_0}{2}e^{i\omega t}e^{\pm ik_0z}e^{\mp\alpha z}+\frac{E_0}{2}e^{-i\omega t}e^{\pm ik_0z}e^{\mp\alpha z}$[/math]
Получается, что когда компонента с положительной частотой усиливается, компонента с отрицательной частотой поглощается. Хотя это наверное тоже нормально.
АПД. еще они в разные стороны летят. А если взять модуль к, то для меня это более понятное решение. Тогда они вместе летят в одну сторону.

mtk79

я ни... не понимаю, о каком модуле идет речь. Вы решали уравнение, выписали его решение с двумя экспонентами [math]$e^{\pm i kz}$, $k=k_0 +i \alpha$[/math]. Подставив в ур-е, можно убедиться, что это решения. ГДЕ ЗДЕСЬ МОДУЛЬ, и чего модуль? Напишите функцию с модулем, являющуюся решением уравнения (и тем более решением интуитивно понятным)
При чем здесь время, если его нет в уравнении?

vbelov

Косинус обычно представляют в комплексной форме: .
там в показателе еще мнимые единицы должны быть и это будет суперпозиция двух плоских волн, обе имеют прекрасный физический смысл — одна распространяется в положительную сторону оси, другая — в отрицательную.

Jeton89

Ну да, кажется я запутался и этот пример не отсюда.
В любом случае спасибо, вы мне помогли разобраться.

Jeton89

Да, да. Туплю.

mtk79

Это Ваше личное право, как представлять константу относительно z, являющуюся неопр. коэффициентом. Когда Вы выбираете константы равными для обоих решений (при этом настаивая, что среда находится при z>0 — это значит, Вы с обратной стороны (допустим, чан с погл. средой конечен и имеет длину L) пустили тоже лучик в направлении против оси z, причем амплитуду меряете не на входе в среду, а на выходе.
Если у Вас один лучик, например, в направлении по z, и Вам очень хочется иметь начальный косинус — то ничего не мешает назначить им неопр. коэфф. решения Е_+. Т.е.
 [math]$E=E_+=E^0_+ e^{ikz}=E_0 \cos(\omega t) e^{i k_0 z} e^{-\alpha z}$[/math]
При этом Вы должны понимать, что Е_0 является КОМПЛЕКСНЫМ ЧИСЛОМ

Jeton89

Спасибо.

Lene81

В вакууме нет поглощения конечно же, поэтому пусть это будет однородная изотропная среда заполняющая все пространство.
А ничего, что в среде с поглощением нарушается обратимость во времени, а операторы теряют самосопряженность? Я бы с большой осторожностью переносил "вакуумные" решения на среду с поглощением, по крайней мере, не делал бы это при всех t.

Lene81

Однако в общем случае это не очевидно.
man Принцип причинности

Jeton89

Не очень понял как это относится к конкретному случаю. Как мне тут уже указали, времени в рассматриваемой здесь задаче нет. Хотя здесь конечно можно навести аналогию, если рассматривать обратимость с точки зрения изменения направления оси z.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: