определение гладкой (непрерывной) зависимости от точки

NHGKU2

есть тензорное поле на гладком многообразии M^n
(т.е. в каждой точке x на M^n рассматриваем T(x) - касательное гиперпространство - в нем задан тензор А(х семейство тензоров А(х) - тензорное поле на М^n)
требуется разумно определить, что означает, что это тензорное поле А(х) непрерывно (гладко) зависит от точки х.....
не соображу как это сделать........

electricbird

связность в помощь

satyana

скопенков, 303 группа?

Rumata

Рассмотрите функции склейки для покрытия картами данного многообразия. Легко заметить, что касательное расслоение склеивается с помощью (самих этих функций и их) дифференциалов, а тензорное расслоение - с помощью соответствующего представления полной линейной группы (вспомните тензорный закон преобразования - обычное представление - действие на векторах (тензорох типа (1, 0 - отвечает касательному расслоению).

NHGKU2

спасибо!
Рассмотрите функции склейки для покрытия картами данного многообразия.

только вот если можно скажите подробнее что это за функции склейки, я несколько не понимаю что это такое.......
я просто думал, что есть где-нибудь сторогое определение, тока ни в каких книжках не нашел
просто если смотреть, например, те же тензоры типа (1,0) - векторы - то ясно, что в рамках разумного определения они в "близких" точках на многообразии "не должны сильно различаться" (это как бы объяснение "на пальцах", надо его формализовать)

Rumata

что это за функции склейки
посмотрите любой современный учебник по многообразиям - например ту же "Современную геометрию" Дубровина-Новикова-Фоменко или "Курс дифференциальной геометрии и топологии" Мищенко-Фоменко.
если смотреть, например, те же тензоры типа (1,0) - векторы - то ясно, что в рамках разумного определения они в "близких" точках на многообразии "не должны сильно различаться"
Ну да, в окрестности каждой точки (т.е. в области действия карты) на многообразии есть локальная система координат (происходящая из координатных функций на R^n и непрерывность (гладкость) функций и полей можно проверять в локальных координатах. Причем гладкость функций склейки (т.е. что они являются диффеоморфизмами) обеспечивает согласованность гладкости на пересечениях областей определения разных карт. Т.е. наличие карт (локальных гомеоморфизмов с областями в R^n) позволяет рассматривать многообразие локально как область в R^n.
Кстати, определение гладкости согласовано с тензорными операциями (например, со сверткой. Т.е. ковекторное поле (на гладком мн-зии) гладкое т. и т.т. когда его значение на любом гладком векторном поле есть гладкая ф-ция и т.д.).
PS Кстати советую вначале разобраться с понятием гладкой ф-ции (т.е. тензорного поля валентности 0 - т.е. аналога скаляров) на гладком мн-зии - как оно связано с функциями перехода

dimaxd

Расскажу на всякий случай, как это объяснил мне сегодня А.Б. Скопенков.
В общем, определение состоит из трех шагов.
Шаг 1. Тензорное поле непрерывно (гладко) на многообразии M^n, если оно непрерывно (гладко) в любой точке z\in M^n.
Таким образом, нужно определить, что означает непрерывность (гладкость) тензорного поля в точке z\in M^n (т.е. локально).
Шаг 2. В окрестности точки z\in M^n выбираем карту U_z с локальной системой координат. Область U_z в M_n по определению многообразия гомеоморфна области V_z евклидова пространства R^n. (Например, если многообразие M^n стандартно вложено в R^{n+1}, то просто берем касательное гиперпространство T(z) в точке z и проектируем окрестность (карту) U_z на эту гиперплоскость, получается V_z - область пространства R^n).
По определению, тензорное поле непрерывно в точке z\in M^n, если тензор в T(z) (из этого тензорного поля) непрерывный.
Итак, осталось указать, что означает непрерывность тензора в области евклидова пространства.
Но в области евклидова пространство тензор - это просто набор чисел в каждой точке (меняющихся при заменах координат по тензорному закону; их всего n^{p+q}) - т.е. функций от точки.
Шаг 3. Тензор непрерывен в точке z области V_z\in R^n, если все его координаты-функции непрерывны в этой точке.
Может быть, я какие-то мелочи упустил (или переврал но основную мысль вроде передал.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: