Кратчайший путь между точками на поверхности

locker

такой вот вопрос меня заинтересовал
пусть есть у нас некая достаточно "хорошая" поверхность в самом что ни на есть обыкновенном трёхмерном евклидовом пространстве
на поверхности заданы две точки
хочется найти кратчайший путь между этими точками, пролегающий по данной поверхности
насколько я понимаю, общего ответа на вопрос нет
1) где бы почитать про решение данной задачи хоть для сколько-нибудь широких классов поверхностей?
2) есть ли здесь связь с геодезическими линиями и если да, то где бы про них почитать?
3) также хотелось бы эффективный алгоритм для решения данной задачи в урезанной форме: "поверхность" == "многогранник", "путь" == "ломаная"

Rumata

на поверхности заданы две точки
хочется найти кратчайший путь между этими точками, пролегающий по данной поверхности
Пусть M^n - компактное n-мерное риманово многообразие (например гладкая поверхность в R^3 с индуцированной метрикой). Тогда существует \epsilon >0 такое что любая пара точек P, Q, лежащая в шаре радиуса \epsilon, соединяется единственной геодезической, целиком лежащей в этом шаре. Эта геодезическая является кратчайшей среди гладких (даже кусочно гладких) путей на M^n, соединяющих точки P, Q.
Почитать об этом можно в любом учебнике по дифф. геометрии - см. например Мищенко, Фоменко "Курс дифференциальной геометрии и топологии", особенно гл. 7, или в "Современной геометрии" Дубровина, Новикова, Фоменко.

locker

спасибо
я так и думал
то есть я правильно понимаю, что геодезические линии -- понятие близкое, но не эквивалентное?
строить ближайшие в небольших окрестностях полезно, но не решает моей проблемы

Jaroslavski

геодезическая==кратчайшая.

locker

локально кратчайшая
пример: пусть есть достаточно большой "ландшафт" -- квадрат эн на эн, на котором z(x, y)=сумма некоторого количества гауссовых колоколов с разными мат-ожиданиями и дисперсиями
тогда даже при небольших эн геодезическая линия, проходящая через противолежащие углы, не есть кратчайшая
более того, как считать то самое эпсилон для поверхностей, заданных набором треугольников, ваще непонятно

Rumata

геодезическая==кратчайшая

Не всегда. Для любой пары (различных) точек на сфере существует бесконечно много соединяющих их геодезических, но не все из них кратчайшие. Например P\neq Q-две не диаметрально противоположные точки, тогда одна дуга соединяющего их большого круга - минимальная геодезическая, а другая - нет.

locker

о
вопрос
а все ли кратчайшие -- геодезические?
что-то сомневаюсь
но если таки да, то есть ли способы описания всех семейств геодезических кривых для поверхности?

Rumata

Посмотрите параграф 36 (стр. 329-334) "Современной геометрии" ftp://elib.hackers/pub/data/vol2/archive/dubrovin.djvu где пишут про поля Якоби и сопряженные точки. Может, там найдете более точный ответ.

Rumata

Теорема: Всякая кратчайшая (по крайней мере гладкая) кривая, соединяющая точки P и Q, является геодезической.
Доказательство: Пусть кривая \omega(t) - кратчайшая. Для произвольной точки x=\omega(t_0) выберем шар как в одном из предыдущих постов. Тогда пересечение \omega(t) с этим шаром - геодезическая (тоже согласно тому посту). Покроем нашу кривую такими пересекающимися шарами. Условие "быть геодезической" локально (геодезическая - решение д.у.!). Вроде теперь все доказано.
PS Может где-то ошибка? Что-то в распространенных учебниках по дифгему я такой теоремы не помню...

locker

я тоже об этом подумал, но подозрительная простота меня насторожила... %)
да вроде верно всё
значит, попробую порюхать геодезические кривые
хотя, думается, непросто там будет глобальные результаты получить
ой, непросто...
и всё же
может, кто в курсе результатов именно по кратчайшим?

naami_moloko

По-моему кратчайшая принадлежит множеству геодезических между двумя точками поверхности.
И уж по любому есть для тех повехностей, что ты описал(плюс там всякая связность и тд понятие вниутненей метрики, и тот путь между точками, длина которого есть расстояние во внутненней метрике - кратчайшая.
Всё это уже давным давно описано в умных книгах по дифгему...

stm7543347

Гипотеза имени меня: если две точки многообразия соединены кратчайшей (что, кстати, не всегда может быть то для произвольной её точки возможны два варианта:
1) либо в этой точке она геодезическая;
2) либо это точка края многообразия.
И есть подозрение, что если краевая точка - неизолированная, то кривая в ней является геодезической на краю...
Но это всё натурфилософия, учтите.

locker

Всё это уже давным давно описано в умных книгах по дифгему...
ну ты знаешь
мой научник Е.В.Шикин -- один из самых крутых по дифгему в раше людей -- сказал, что в книжках я никаких более-менее _общих_ результатов не найду

Jaroslavski

если я не ошибаюсь, есть теорема: "геодезическая построенная следующим образом является кратчайшей." в книжку не полезу

naami_moloko

Для метрических пространств есть понятие геодезических пространств.
Неклассическое определение геодезической - есть метр. пространство (Y, p) и f:I->Y - изометрия, если I (какой-то интервал из R что для х, у из I верно |ху|=р(f(x f(y. Вот тогда геодезическая - f(I) (понятно что не единственная).
Здесь она всегда будет наикратчайшей.
Другой вопрос, что какие-то метрические пространства являются геодезическими, а какие-то нет, и никакие лекции этого положения не изменят.
Если хочешь сделать критерий, по которому можно будет судить о метрическом пространстве является ли оно геодезическим, то вперёд.
Кстати не удивлюсь, если
а) Критерии уже есть
б) Все гладкие многообразия являются геодезическими метрическими пространствами.

Rumata

Я думаю что на большинство вопросов этого треда (о глобальных свойствах геодезических) ответ содержится в теореме Хопфа-Ринова: см. например Бишоп, Криттенден "Геометрия многообразий" ftp://elib.hackers/pub/data/vol1/_djvu/M_Mathematics/MD_Geometry%20and%20topology/MDdg_Differential%20geometry/Bishop,%20Krittenden.%20Geometrija%20mnogoobrazij%20(Mir,%201967)%20(ru335s).djvu стр. 194.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: