Посчитать сумму ряда

PaPik58

Имеется ряд:
[math]$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{n} { (n^2 - x^2)^2}$$[/math]
или как вариант
[math]$$g(x) = \sum_{n=1}^{\infty}  \frac{1} {(n^2 - x^2)^2}.$$[/math]
(понятно, что они друг к другу сводятся)
Это суммируется в лоб? А если нет, то наверняка это какая-то спецфункция известная. Какая?
Спасибо.

mtk79

второй ряд есть производная от 1 / (n^2 - x^2) (деленная на 2х который суммируется, ЕМНИПть, в котангенс

PaPik58

Спасибо.
Только я что-то погорячился. Первый ряд свести ко второму не получается. А интересует меня только первый ряд.
Так что вопрос еще открыт.
Модеру тоже спасибо.

lena1978

может и не в тему, но мне это напоминает свертку. или дискретное преобразование лапласа.

Hana7725

Математика дает
[math]$  \frac{\psi ^{(1)}(1-x)-\psi ^{(1)}(1+x)}{4 x},  $  [/math]
где
[math]  $  \psi (z)=\frac{\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}.  $  [/math]

PaPik58

Ну, мэпл дает что-то похожее, тоже с какой-то функцией Пси(x). Только хочется понять, как это посчитать руками можно.

seregaohota

наверно представляется в виде суммы простых (элементарных) дробей
В Maple это
f := n/(n^2-x^2)^2;
convert(f,parfrac,x);
Дальше может две из 4 (которые дают несходящиеся ряды) комбинируются или суммируются до N и стремящиеся к бесконечности взаимно уничтожаются. Ну и суммируются. Покрути в Maple.

seregaohota

Вроде не по той переменной в простейшие дроби разложил
convert(f,parfrac,n);
Дальше 2 ряда.

Lene81

Кури формулу Миттаг-Лефлера (разложение мероморфной функции по простым полюсам)

mtk79

а разве здесь простые полюса?

Hana7725

Что значит посчитать руками? Выразить через что-нибудь еще? Мейпл и математика знают всякие формулы упрощения, и если бы они могли выразить ответ через элементарные функции, так и написали бы.

Lene81

а разве здесь простые полюса?
Нет, не простые. Но можно разложить общий член ряда в элементарные дроби, и, при необходимости, изменить пределы суммирования не от 0(1) до бесконечности, а от -бесконечности до бесконечности.

PaPik58

Имеется ввиду, как математика или мэпл получают такой результат?
То что используются спецфункции меня не особо пугает.
Про разложение на простые дроби - спасибо, погляжу вечером, сейчас нет мэпла под рукой.
Про Миттаг-Леффлера не понял. Посмотрел - это же теорема о существовании. Она не показывает, как функцию найти. Похоже я тут что-то не понимаю, буду думать еще.

Lene81

Про Миттаг-Леффлера не понял
Для нее формулируют следствия вроде
f(z) = f(0) + \sum (bn/an +1/an где an — полюса, а bn — вычеты. Собственно, понятно появление логарифмов гаммы в твоем случае — у Г(x) полюса в отрицательных целых числах, а значит у Г(-x) — в положительных целых. Возможно, еще надо будет поманипулировать не с суммой ряда, а ее производными/интегралами по x (которые вычисляются почленным дифференцированием/интегрированием)

PaPik58

Надо поботать.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: