Задача по математике

jasd323

Найти три положительных целых числа, сумма которых, а также сумма каждой пары которых есть точный квадрат.
я вот уже часа три сижу... и ничего

Olya-24-

нет таких

jasd323

проверенная информация?

Suebaby

проверенная информация?
нет. мало того, гон!
32, 32, 17

mtk79

до скольких дошли в переборе?

Suebaby

решал так:
a+b=alpha^2
a+c=beta^2
b+c=gamma^2
a+b+c=delta^2
отсюда (alpha^2+beta^2+gamma^2)/2=delta^2
для определённости alpha<=beta<=gamma
кроме того, положительность a,b,c требует gamma<delta
дальше написал прогу, которая перебирает все 1<=alpha<=beta<=gamma<=10 и проверяет требуемые условия
#!/usr/bin/python
import math
M=10
for i in range(1,M):
for j in range(i,M):
for k in range(j,M):
d=math.sqrti**2+j**2+k**2)/2.)
if d==int(d) and d>k:
print i, ", ", j, ", ", k, " -- ", (i**2+j**2+k**2)/2.

при M=25 получилось найти и попарно различные a,b,c

jasd323

ах, ну да - прога
а я, как дурак, сижу с ручкой и бумажкой
пытаюсь найти какие-то зависимости, пытаюсь как-то минимизировать процесс подбора...

mtk79

попарно различные
я бы долго смеялся (возможно, и не откачали бы если бы удалось найти попарно не различные

Suebaby

я бы долго смеялся (возможно, и не откачали бы если бы удалось найти попарно не различные
числа 32, 32 и 17 являются попарно различными?

mtk79

не являются, конечно.
а какое это имеет отношение к задаче?

Vlad128

ну примерно такое же, как и число 4 имеет к задаче "подсчитать 2x2"

mtk79

Ну, тогда ладно. Я вижу, у Вас с арифметикой все в порядке — тогда Вы и назовите мне, точным квадратом какого натурального числа является сумма квадратов 32. Ну, или какого-нибудь другого нат. числа (Вы вот в степенях двоек круто ориентируетесь, может, там чего завалялось?).

Vlad128

конечно круто 2^5 + 2^5 = 2^6 = (2^3)^2
Ну на самом деле, я тоже вначале запутался, квадрат на квадрате и квадратом погоняет :crazy:

mtk79

да, условие-то я прочитать и забыл. Точнее, сразу зациклился на "три часа не могу решить" и на "программе по перебору", что задача показалась на "не меньше, чем сумма квадратов".
Тогда еще пуще непонятно, почему бы ее не решить, а не писать программу перебора

griz_a

задача-то найти или найти все?

tanuhka3

Тут слишком много решений, боюсь общий случай ниасилить. Зато можно несложно построить формулу для одной из серий (я построил)
Привет, Шурик () =)

Vadim46

Ну, уравнение alpha^2+beta^2+gamma^2 = 2delta^2 в целых числах решается стандартным образом: делим на delta^2, делаем замену, приходим к уравнению x^2+y^2+z^2=2 в рациональных x,y,z; теперь делаем стереографическую проекцию из точки (1,1,0) на плоскость x+y=0, при этом рациональные точки на сфере переходят в рациональные на плоскости и наоборот. Получается параметризация всех решений. Теперь нужно еще условие alpha,beta,gamma < delta, то есть |x|,|y|,|z| < 1, нужно отсюда получить эквивалентное условие на параметры. У меня получилось так:
alpha = 2U^2 + V^2 - 2W^2 + 4UW
beta = 2U^2 + V^2 - 2W^2 - 4UW
gamma = 4VW
delta = 2U^2 + V^2 + 2W^2
U,V,W целые,
W^2 > U^2 > W^2 - (V-2W)^2 / 2
Числа в исходной задаче, соответственно — delta^2-alpha^2, delta^2-beta^2, delta^2-gamma^2.

lenmas

Круто!
Я так и не смог подобрать, при каких значениях параметров получаются наименьшие попарно различные корни. :)
P.S. Не могу получить из этой серии решение alpha=11, beta=19, gamma=20, delta=21 :(

Vadim46

Не могу получить из этой серии решение alpha=11, beta=19, gamma=20, delta=21
Мда, при обратном переходе к целым числам потерялся коэффициент пропорциональности. При u=2,v=10,w=3 получается твой пример, умноженный на 6. По-хорошему надо исследовать, какие общие множители могут быть у alpha,beta,gamma, но это не так-то просто.

lenmas

Может, это из-за того, что ты в качестве полюса проекции взял (1,1,0) и на x+y=0 проектировал, поэтому и примитивная четверка не та получилась? Ну, это надо точно проверять. Пусть так и остается, ладно. Принцип понятен.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: