помогите задачку решить

Mailer

На n вешалках,весит n шапок. Какова вероятность хотя бы одной шапке оказаться на своём месте,при перевешивании.
В ответе должен получиться знакопеременный ряд

NHGKU2

Пусть событие А = {хотя бы одна шапка оказалась на своём месте}.
Рассмотрим события А_i = {i-тая шапка оказалась на своём месте}, i = 1, ..., N. Тогда P(A_i) = (n-1)! / n! = 1/n. Очевидно, А есть объединение событий А_i, i = 1, ..., N. Применяя известную формулу для вероятности объединения событий, получаем:
P(A) = P(\cup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{i<j} P(A_i A_j) + \sum_{i<j<k} P(A_i A_j A_k) - ... + (-1)^{n-1} P(A_1 ... A_n).
В k-той сумме имеем C_n^k равных слагаемых; каждое из них равно P (A_{i_1} A_{i_2} ... A_{i_k}) = (n-k)! / n! Поэтому
P(A) = 1 - C_n^2 (n-2)!/n! + ... (-1)^{k-1} C_n^k (n-k)!/n! + ... + (-1)^{n-1} 1/n! = 1 - 1/2! + ... + (-1)^{k-1} 1/k! + ... + (-1)^{n-1} 1/n! = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}/k!
Ответ: \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}/k!

Mailer

кажется так...
спасибо!

a101

Я бы еще добавил, что это очень близко к 1/e

Mailer

точно так думаешь?

Petrovich40

ну если бы вешалок и шапок было очень много, практически бесконечное количество...

a101

Этот ряд просто сходится к 1/e. Причем, заметь, офигенно быстро. Разница между 1/e и ответом для n менее, чем 1/(n+1)!

a101

Собственно, когда мне препод давал задачку, он, как я понял, и хотел услышать ответ 1 / e

NHGKU2

По-моему, не к 1/e, а к 1-1/e
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: