Связь между выпуклостью и непрерывностью

adgika

Что можно сказать о непреывности выпуклой функции? Необходимо рассмотреть два случая: 1. f действует из R в R, 2. из Rс чертой в R с чертой.

Есть предположение, что в случае 1. f будет всюду непрерывна. А вот что делать со случаем 2.? :-( Разрывы какого рода там могут быть?

stream_24

Да, действительно выпуклая во всем пространстве функция непрерывна. А что за R с чертой?
R\union{\infty}?

adgika

Да, R с чертой - это R с точками + и - бесконечность.

afony

Во втором случае функция должна быть постоянной.
Это если считается, что есть конечные пределы у функции в бесконечных точках. А иначе непонятно чем второй случай отличается от первого.

adgika

Дело в том, что есть следующее устверждение:
Каждая собственная выпуклая функция в конечномерном пространстве непрерывна во внутренности своей эффективной области.

Тем самым, если мы рассматриваем просто R, то там она собственна всюду и её эффективная область всё R. А вот если R с чертой, то возникает вопрос про эти проклятые точки
а. которые являются граничными для её эффективной области,
б. значения функции в которых равны + или - бесконечности.

afony

В смысле интересует вопрос какие разрывы может иметь функция в бесконечных точках?
Первого рода, так как выпуклая функция на R является кусочно-монотонной.

adgika

а зачем в утверждении, которое я написала выше, говорится именно про внутренность dom f?

svetik5623190

А где можно посмотреть эти увлекательные утверждения? Давно хотел изучить эти факты.
Кстати. Предлагаю в качестве области определения рассмотреть более понятные объекты, поторые по сути ничем не отличаются от тех, которые упоминаются в первом посте:
Вместо R интервал (-1,1)
Вместо R с чертой отрезок [-1,1]
Например, монотонный гомеоморфизм R на (-1,1) делается функцией (2/Pi) arctg(x)

svetik5623190

Каждая собственная выпуклая функция в конечномерном пространстве непрерывна во внутренности своей эффективной области.
А что такое эффективная область функции?

lenmas

монотонный гомеоморфизм R на (-1,1) делается функцией (2/Pi) arctg(x)
Он выпуклость не сохраняет

svetik5623190

Он выпуклость не сохраняет
А каков класс отображений линейного вещественного пространства в себя, сохраняющих выпуклость вещественных функций на этом линейном пространстве?
Топология тут должна быть ни при чём, ведь выпуклость - это чисто ординальное понятие.

491593

имхо тока аффинные.

svetik5623190

ХЗ

adgika

Эффективное множество - это dom f = { х \in Х | f(x) < + infinity}.

svetik5623190

Спасибо.
Если честно, мне расширенная числовая прямая вовсе не нравится. Хотя бы потому, что она не является полем. Так что все эти расширения путём добавления актуально бесконечных элементов, мне кажется, от луквого: на самом деле они не нужны.
Кто в теме - поправьте, если я не прав.

stream_24

в данном случае, прав, если речь идёт о вещественной прямой.

Vlad128

А как жеж сопряженные функции и все такое?

pygar

 > имхо тока аффинные
[math][res=150]Да, среди дважды гладких на прямой --- только линейные, так как$$(f\circ g)''=f''(g)\cdot (g')^2+f'(g)\cdot g'',$$и если $g\colon\mathbb{R}\leftrightarrow\mathbb{R},\, g\in \mathrm{C}^2(\mathbb{R})$, и $\exists\;\tilde{x}\in\mathbb{R}$ такое, что $g''(\tilde{x})\ne 0$, то существуют и такие $x_o\in\mathbb{R},\;\varepsilon>0,\,\vartheta>0$, что при $x\in[x_o-\varepsilon,\,x_o+\varepsilon]\quad|g''(x)|>0,\;|g'(x)|>\\>0$, а $g\left ([x_o-\varepsilon,\,x_o+\varepsilon]\right )\supset [g(x_o)-\vartheta,\,g(x_o)+\vartheta])$.[/math]
[math][res=150]Но тогда, для $s=\mathrm{sign}\,g(x_o)$, выпуклый полином $f(x):=s\cdot\left (\frac{x-g(x_o)}{\vartheta}\right )^4-\\-\left (\frac{x-g(x_o)}{\vartheta}\right )$, у которого $f'(g(x_o<0,\; f''(g(x_o=0$, будет иметь ноль производной в некоторой точке $\eta\in[g(x_o)-\vartheta,\,g(x_o)+\vartheta]$, причём $\mathrm{sign}\,f''(\eta)=\\=s$, и потому после преобразования $g$ получившаяся функция $f\circ g$ будет иметь разные знаки у своих ненулевых вторых производных в точках $x_o$ и $g^{-1}(\eta)$.[/math]

soldatiki

Есть мнение, что в конечномерных пространствах выпуклые функции всегда непрерывны (бесконечные значения не рассматриваются а вот в бесконечномерных — не так. Пример навскидку (возможно, неверный) - максимум неотрицательных непостоянных выпуклых функций на прямой, каждая из которых получается масштабированием аргумента, например, берется модуль и составляется максимум f(x_1,...) = max|n * x_n|, максимум по всем n. Такую функцию рассматриваем на пространстве финитных последовательностей, так что максимум на каждом векторе берется по конечному числу переменных. А чтобы она стала разрывной вводим на c0 топологию равномерной сходимости.

soldatiki

Кстати, для конечномерных пространств, вроде, функция выпукла ТиТТК она супремум афинных. А верно ли это в общем случае?

lenmas

а вот в бесконечномерных — не так.
В бесконечномерных и линейные бывают разрывные, вот сделал открытие :grin:
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: