Помогите с задачей по коммутативной алгебре

margo11

Рассмотрим конечно порожденную алгебру над полем, являющуюся областью целостности. Доказать что в ней все максимальные цепи простых идеалов имеют одинаковую длину.

shiosifshiosif

Пусть алгебра A порождена над K элементами x1...xn.
Тогда A=K[x1...xn]/U, кольцо многочленов от n переменных над K факторизованное по идеалу U.
U - простой идеал, иначе A - не область целостности.
Теперь нада доказать, что в K[x1...xn] все максимальные цепочки простых идеалов, содержащих U, одинаковой длины. Все такие цепочки начинаются с U (иначе можно в начале поставить U и получим более длинную цепочку т.е. достаточно доказать, исходное утверждение для K[x1...xn].

margo11

А то, что все цепочки для K[x_1, ..., x_n] одинаковой длины, это можно посмотреть где-то как известный факт или как это доказать?

margo11

Спасибо всем за помощь!

margo11

Их Харстхорна: "Размерностью Крулля кольца A называется верхняя грань множества высот всех его простых идеалов". Так что в корректность определения не заложен факт о том, что все максимальные цепочки имеют одинаковую длину. Или я где-то не прав?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: