Какие решения будет иметь диффур

gadzet

U''(z) - 4*b*th(b*(l-z*U'(z) + a*a*U(z) = 0

lena1978

а чо, не решается чтоли?
th - это обычный тангенс?

stm7543347

Гиперболический, как я понимаю.

lena1978

а вообще не суть. я бы попробовал сначала найти частное решение в виде с*sin(b(l-z. ну или гиперболический синус.

gadzet

Просто я, Илюха, не помню, как диффуры решать)
И надеюсь, что мне подскажут метод и/или решение, кому не сложно)
th - гиперболический тангенс
Что делать после нахождения частного решения?

toxin

Аналитически вроде подобные диффуры решаются в основном методом просмотра справочника...

gadzet

В кои-то веки я обратился к форуму, а не справочнику)

gadzet

Полистал справочник.
Общим решением такого линейного однородного уравнения будет линейная комбинация его частных решений.
Таковых здесь должно быть 2.
Если известно одно частное решение, то второе можно найти с помощью формулы Остроградского-Лиувилля.
Вопрос заключается в том, как найти это первое частное решение.
Если попробовать "c*sh(b(l-z", то в итоге получится: c*sh(b(l-z*(a*a + 5*b*b) = 0.
Т.е. эта штука не будет являться частным решением.
Что можно подставить еще, непонятно.

CneKTP

Блин, денис, не мучай себя и людей. заряди этот дифур в "Математику".

lenmas

Если избавиться от первой производной, то получится диффур типа V''+[c+d*th^2(t)]V=0 (я заменил b(l-z) на t). Навряд ли такой решается при произвольном соотношении между c и d. Если бы d был меньше 1/4, то можно было бы подобрать частное решение в элементарных функциях при определенном соотношении между c и d (да и не факт, что второе решение при этом будет элементарной функцией, разве только интегралом от элементарной функции). Так как в твоем случае d, если не ошибаюсь, равно 2, то и это не прокатывает. Может, кто чего и придумает :)

svetik5623190

U''(z) - 4*b*th(b*(l-z*U'(z) + a*a*U(z) = 0
Я бы в первую очередь обратился к таким уважаемым господам, как Мэпл и Камке.

Sensor4ik

Пробовал. Не решает.

gadzet

Женя, спасибо, что сказал, а то я уже начал надеяться на предложение Эдуарда.

gadzet

Спасибо за попытку =)
Я тоже так делал - избавлялся от первой производной.
Сейчас расчеты не приведу, на листах все расписано.
Но смысл весь в том, что не катит такая тема здесь, к сожалению.
А вот при коэффициенте 2 (продольные колеюания) вместо 4 (крутильные) при первой производной в исходном уравнении все нормально подбирается, а тут фиг(.
2Гонобобель: Камке и некоторые прочие смотрел уже.
А что, Маппл, думаешь, сможет мне аналитическое решение выдать?

gadzet

U'' + 4*b/(bz-1)*U' + a*a*U = 0
Еще мне такой диффур нужно решить.
Тоже по нулям.

Sensor4ik

Этот решается в Математике:

lenmas

А вот при коэффициенте 2
В том-то и дело, что в этом случае все удачно (после домножения на ch(b*(l-z подводится под вторую производную произведения и там получается вообще диффур с постоянными коэффами :) Так что это не показатель. А вот в твоем случае хуже.

lenmas

Кстати да! Это что-то связанное с бесселевой функцией половинного порядка :) (ну, после домножения на (bz-l)^2 и подведения опять под вторую производную произведения)

CneKTP

Я так понимаю, ей не нравится использование гиперболического тангенса... если переписать все через экспоненты, домножив предварительно на косинус гиперболический, может ей полегчает?

gadzet

Спасибо, Жень =)
Мне конечно нужен и сам метод, но и ответ сгодится на худой конец на первое время =)
Дальше прогу писать.
Т.е. как все делается в "Математике"? Подаешь на вход уравнение. Вызываешь стандартную функцию "Solve" и дело в шляпе?

gadzet

Ага, так и есть :) Диффур с постоянными коэффициентами.
Ты бы знал, как наивно я пытался все подогнать =)

gadzet

Жду, когда сможешь инсталяшку передать - сам проверю =)

Sensor4ik

Т.е. как все делается в "Математике"? Подаешь на вход уравнение. Вызываешь стандартную функцию "Solve" и дело в шляпе?
DSolve.
Попробуй сначала повторить приведенный мною скриншот. То есть вбить то, что написано в ячейке In и нажать Shift+Enter. Знак умножения в математике можно заменять пробелом.
За дальнейшими разъяснениями - ставь курсор после слова DSolve и жми F1. Вылезет справка по использованию этой функции, важные сведения можно почерпнуть из раздела Futher Examples (в самом низу справки, разворачивается при клике на стрелочку).

gadzet

Спасибо, попробую

Sensor4ik

если переписать все через экспоненты, домножив предварительно на косинус гиперболический, может ей полегчает?
Не помогает:

CneKTP

Угу... вижу... Щас еще в "Зайцева с Поляниным" загляну...

CneKTP

Чето при первом взгляде ничего хорошего не нашел :( с коэффициэнтом два все легко сворачивается, как уже тут не раз заметили, или различными заменами сводится к уравнению с постоянными коэффициэнтами... а вот с четверкой - никак...

pygar

[math][res=120]При $b\ne0$ чётным и нечётным (относительно точки $z=l$) частными решениями будут суммы абсолютно сходящихся на $\mathbb{R}$ рядов$$\sum_{n=0}^{\infty}c_{2n}t^{2n}\,\text{ и }\,\sum_{n=1}^{\infty}c_{2n-1}t^{2n-1}\,\text{, где }\,t(z)=\mathrm{th}\big(b(l-z)\big\,c_0=-2b^2,\,c_2=a^2,$$$c_1=-6b^2,\,c_3=2b^2+a^2$, а остальные коэффициенты вычисляются последовательно из соотношений:$$\begin{array}{llll}2b^2n(2n-1)c_{2n}+\big(a^2-8b^2(n-1n-2)\big)c_{2n-2}+2b^2(n-22n-7)c_{2n-4}=0,\,n>1\\\\2b^2(n-12n-1)c_{2n-1}+\big(a^2-2b^2(2n-32n-5)\big)c_{2n-3}+2b^2(n-42n-5)c_{2n-5}=\\=0,\,n>2.\end{array}$$[/math]

lenmas

Круто! А пояснить откуда красотища такая берется? :grin:

pygar

[math][res=120]Рассмотрим линейный оператор $F(U)=U''-4btU'+a^2U$, тогда, с учётом равенства $t'=b(t^2-1)$:$$\begin{array}{ll}F(1)=a^2\\F(t)=-2b^2t^3+(2b^2+a^2)t\\F(t^2)=-2b^2t^4+a^2t^2+2b^2\\F(t^3)=(a^2-6b^2)t^3+6b^2t\\F(t^{2n-1})=2(2n-1)b^2\bign-2)t^{2n+1}+(n-1)t^{2n-3}\big)+\big(a^2-2(2n-12n-3)b^2\big)t^{2n-1},\,n>2\\F(t^{2n})=2b^2n\big2n-3)t^{2n+2}+(2n-1)t^{2n-2}\big)+\big(a^2-8b^2n(n-1)\big)t^{2n},\,n>1\end{array}$$[/math]
[math][res=120]Отсюда, подставляя в $F$ формальные степенные ряды, находим их коэффициенты. Теперь заметим, что $\forall\,z\in\mathbb{R}\;\,|t|<1$, и $c_{2n}=\big(2+O(1/n^2)\big)c_{2n-2}-\\-\big(1+O(1/n^2)\big)c_{2n-4},\; c_{2n-1}=\big(2+O(1/n^2)\big)c_{2n-3}-\big(1+O(1/n^2)\big)c_{2n-5}$, из чего следует абсолютная сходимость полученных рядов.[/math]

lenmas

Здорово! Надеюсь, это поможет топикстартеру :D

gadzet

Спасибо! :cool:
Только есть 1 нюанс.
Мне же нужно программу писать.
Для этого мне не покатят такие ряды.
Нужна их сумма в данном случае.
А как найти аналитическое решение?

toxin

Мне же нужно программу писать.
С этого нужно начинать. Зачем тебе аналитическое решение, если ты пишешь программу? Экспонента в процессоре все равно ведь через ряды считается.

gadzet

Аналитическое решение мне требуется для написания программы.
Но помимо этого оно нужно и само по себе.

pygar

 Это два независимых аналитических решения, но элементарных функций в пространстве решений нет, судя по всему (хотя, вероятно, вид этих двух решений можно упростить). Написать программу для численного вычисления сумм сходящихся степенных рядов с последовательно вычисляемыми коэффициентами не сложно (если решение, как обычно, ищется на отрезке, то будет и теоретическая оценка скорости сходимости). Если же нужно произвести дальнейшие преобразования с аналитическими решениями, то в большинстве случаев их можно заменить на хорошее приближение многочленами.

lenmas

Мне же нужно программу писать.
Ну так напиши, ряды сходятся очень быстро (как геомпрогрессия, так как t=th(b*(l-z по модулю меньше единицы) :confused:

gadzet

Да, вы оба правы.
Аргумент на счет программы был плох, тупанул немного.
Оценка скорости будет. Количество членов ограничу.
Правда далее есть нюансы. Я пока еще сам не все знаю.
Но с аналитическими решениями действительно должны быть проведены дальнейшие преобразования.
Как в данном случае можно будет получить хорошее приближение многочленом?

pygar

 Зависит от того, что нужно сделать с полученным решением. Например, сама функция t(z) eсть монотонная биекция вещественной прямой на (-1, 1 а многочлен от t, хорошо приближающий решение, получается автоматически, как частичная сумма описанных выше рядов. Абсолютная погрешность приближения n-степени к решению на отрезке [A, B]:
[math][res=120]$C(\mathrm{th}M)^{n+1}/(1-\mathrm{th}M)$, где $M = \max\big\{|b(l-A)|,\,|b(l-B)|\big\},\,C=\max\limits_{m>n}|c_m|$[/math]
 Коэффициенты рядов вычисляются в программке , отсюда можно и прикинуть величину C.
  Если же нужно приближение степенным рядом по z, то, скорее всего, будет достаточно интерполяционного многочлена Лагранжа высокой степени (). Наилучшее равномерное приближение в общем случае достигается выбором узлов интерполирования в нулях соответствующего многочлена Чебышева (). В каждом конкретном случае существует, конечно, и наилучшее равномерное приближение, но оно тут вряд ли понадобится.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: