Задача про группы

stm2888609

Дано: G - группа, S - подмножество G
Gs = {g1^n1*g2^n2*...*gj^nj} n1,n2...nj E Z g1,g2... E S
Док-ать: Gs - подгруппа G

HEPBAP

По-моему, слишком мало условий. Сходу можно ответить, что необязательно, но возможно. Что за группа? Как определяется подмножество группы? Если в Gs не входит единичный элемент, например, то ответ нет.

stm2888609

По-моему условий должно быть достаточно
Ед. элемент входит в Gs по ее определению при nj=0

Rumata

Пусть F_S -- свободная группа, порожденная элементами множества S. Рассмотрим сопоставление s\mapsto g_s, S\rightarrow G. По универсальному свойству свободной группы это отображение множеств продолжается до единственного гомоморфизма групп F_S\rightarrow G. Легко видеть, что Ваше подмножество в группе G -- это образ данного гомоморфизма, поэтому является подгруппой.

Rumata

PS: Можно конечно проверять условия подгруппы напрямую, но приведенное мной рассуждение имхо изящнее

HEPBAP

Тогда проверь, что произведение любых двух элементов из этого множества дает элемент из того же множества и что у всех элементов есть обратный. Тогда, если я не ошибаюсь, множество S можно назвать группой внутри G, то есть подгруппой имени Gs.

Rumata

Кстати, Вы ИМХО забыли добавить условие непустоты S.

stm2888609

А все-таки, как доказать это напрямую

kachokslava

А в чём проблема?
степени целые => обратный элемент находится тривиально. (заменяем знак соотв. степеней)
Произведение элементов тоже принадлежит.
пусть s1=f1^n1*f2^n2*..fk^nk, s2= g1^m1*g2^m2..gl^ml,
s1, s2 из Gs, gi,fi из S,следовательно произведение тоже принадлежит Gs

HEPBAP

Да, со степенями меня проглючило, не обратил внимание (условие трудночитаемое).

Rumata

А в чем проблема-то? Композиция двух слов такого вида -- снова слово такого вида. Обратным для слова g_1...g_n является слово g_n^{-1}...g_1^{-1}, единичный элемент как Вы уже заметили есть (впрочем это условие следует из предыдущих и непустоты S).

stm2888609

Чтобы показать, что "композиция двух слов такого вида -- снова слово такого вида" надо док-ать, что:
g_1^{n_1}*g_2^{n_2}*...*g_j^{n_j} * g_1^{m_1}*g_2^{m_2}*...*g_j^{m_j} приводится к виду
g_1^{k_1}*g_2^{k_2}*...*g_j^{k_j}
а как?

kachokslava

А разве показатели сложить не получится?

stm2888609

переставлять эл-ты произведения местами нельзя (т.к. группа G не абелева) =>
просто сложить показатели нельзя

Rumata

Так j не фиксировано, а произвольное натуральное. Т.е. произведение слова длины i на слово длины j можно считать словом длины i+j (хотя иногда можно сократить запись). Т.е. произведение g_{i_1}^{n_1}...g_{i_k}^{n_k} на слово g_{j_1}^{m_1}...g_{j_l}^{n_l} есть слово g_{i_1}^{n_1}...g_{i_k}^{n_k}g_{j_1}^{m_1}...g_{j_l}^{n_l}.

Rumata

Чтобы показать, что "композиция двух слов такого вида -- снова слово такого вида" надо док-ать, что:
g_1^{n_1}*g_2^{n_2}*...*g_j^{n_j} * g_1^{m_1}*g_2^{m_2}*...*g_j^{m_j} приводится к виду
g_1^{k_1}*g_2^{k_2}*...*g_j^{k_j}
Совсем нет, "такого вида" подразумевает произведение некоторого конечного числа целых степеней элементов из S.

stm2888609

Я туплю.
Все правильно
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: