Как продолжить функцию?

Lika25

Пусть имеется несколько отрезков в 3D и на них задана функция, линейная на каждом из отрезков.
Требуется продолжить функцию на все пространство так, чтобы она была из C^1, и inf | grad f | -> min
Буду благодарен за любые идеи!

griz_a

inf | grad f | -> min

Странное условие :confused:
Ну продлим функцию чуть подальше по одному из отрезком константой, потом ясно до непрерывной можно будет дополнить, inf |grad f| будет 0

k11122nu

опечатка, наверно. sup, надо полагать

Lika25

спасибо
имелось в виду найти arg inf_{f} sup_{x \in R^3} | grad f(x) |

Hana7725

Обозначим через [math]$A\subset \mathbb R^3$[/math] объединение отрезков. Предположение: ответ равен[math]$$\max_{x,y\in A,\ x\not=y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$$[/math]. Меньше быть не может по теореме о среднем. Для одномерного случая [math]$A\subset \mathbb R$[/math] гипотеза справедлива.

z-helenium

 На плоскости рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию, равную x на полуоси Ox+ и равную y на полуоси Oy+ (например, |x| + |y|). Тогда квадрат модуля градиента функции в точке (0, 0) равен 2.

Hana7725

Предполагать точный ответ по одному частному случаю было несколько опрометчиво. Аккуратнее было бы добавить множитель C(n зависящий от размерности :p .
Однако, если разрешить отрезкам пересекаться, то решения в C^1 может вообще не существовать. Например, отложить из нуля отрезки по четырем координатным направлениям с функцией |x|. Если же рассмотреть отрезки, получающиеся из указанных удалением части |x|<eps, то решение будет существовать с константой 1 и при eps->0 будет стремиться к f(x)=|x|. Таким образом, если разрешить отрезкам пересекаться то, с одной стороны, решения может не быть, а с другой - даже когда оно есть, сдвигая отрезки, в пределе можно получить ответ, отличающийся от предельного случая пересекающихся отрезков.
Более адекватная постановка задачи получится, если заменить пространство C^1 на пространство липшицевых функций. Их можно дифференцировать почти всюду и теорема о среднем для них верна. Причина различий в полученных в примере результатов заключается в том, что производная оценивается по норме С, которая также является нормой в [math]$L_\infty$ [/math]. В одномерном случае решением исходной задачи будет кусочно-линейная функция. Это показывает, что inf на C^1 может не достигаться. Связано это с тем, что пространство С не плотно в [math]$L_\infty$ [/math]. Например, sign(x) нельзя приблизить гладкими функциями по норме С (sup|sign(x)-f(x)|>=1 из-за разрыва в нуле). Если же выкинуть отрезок [-eps,eps], то можно легко приблизить, причем так, чтобы |f|<=1. Однако производная |x_i|, i=1,2, равна как раз sign(x_i что объясняет приведенный выше пример с четырьмя отрезками.
При такой постановке inf будет равен f(x)=|x| с константой Липшица [math]$$\sup_{x,y\in \mathbb R^3,\ x\not=y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}=1$$[/math] и примера, что постоянная C(2)>1 это не дает. А заодно показывает, что решений может очень много, поскольку при |x|>1 функцию можно изменять достаточно произвольно с сохранением нужных свойств. Вероятно, имеет смысл спрашивать об arg inf на выпуклой оболочке A, потому что далее ее можно продолжать многими способами. И то, как легко проверяется в одномерном случае, единственности может не быть.

griz_a

Нифига непонятная постановка, может просто я тупой. Убери воду и напиши конкретно предлагаемую постановку задачи, без пояснений почему, кто и где

Hana7725

"Пусть имеется несколько отрезков в 3D и на них задана функция f, линейная на каждом из отрезков. Требуется продолжить функцию на выпуклую оболочку отрезков B, чтобы она была из пространства Липшица C^{0,1}(B) и такую, что f=arg inf_{f\in C^{0,1}(B)} sup_{x \in B} | grad f(x)|"
Если ты без пояснений можешь понять, почему эта постановка более естественная чем исходная, то ты молодец :)
 

griz_a

Не могу понять в чем прелесть определения её на выпуклой оболочке. По-моему, их все равно будет много.
Пересекающиеся отрезки ты, я так понимаю, все равно хочешь выкинуть, так?
А что там с константой размерности?

Hana7725

Изменения в постановке как раз были внесены, чтобы учитывать пересекающиеся отрезки, а также потому, что inf на функциях из C^1 может не достигаться. Выпуклые множества рассматриваются, чтобы выделить существенное в задаче и поделить ее две. Иногда решение единственно: к примеру, при n=1 пусть f=0 на отрезках [0,1] и [4,5], и f=1 на отрезке [2,3]. A продолжить липшицеву функцию с выпуклого множества на R^n несложно. Известно, что это всегда можно сделать. Не помню только, с той же константой Липшица или нет. Вероятно, это надо смотреть в книжках по выпуклому анализу.
Гипотеза с константой C(n): максимум производной у решения f на B не превосходит [math]$$C(n)\max_{x,y\in A,\ x\not=y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$$[/math]. Однако для приведенного примера константа Липшица равна 1 (в новой постановке так что неравенство C(2)>1 мне лично не очевидно.

Lika25

согласен, давайте рассматривать задачу над пространством липшицевых функций
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: