УРЧП помогите плз

roma73

задача такая:
Utt=1/4 Uxx
(Ut-U) | x=0 = a(t)
U | t=0 = b(x)
Ut | t=0 = 0
где a(t) и b(x) 2pi - периодические функции. и равны нулю на отрезке [pi/2; 3pi/2]
Найти максимальное множество, на котором U(x,t) = 0.
при x>2t уже нашел
помогите плз с областью x<2t. там както через характеристики нужно...хз как

lenmas

У тебя какое-то странное краевое условие. Обычно там u_x встречается. И характеристики вроде x+1/2t и x-1/2t, а не x-2t.
В общем, проверяй условия. При твоих условиях u|x=0 получается растет как экспонента (реши дифур по t на прямой x=0 то-есть явно не ноль на этой прямой, поэтому области гарантированных нулевых значений только ромбы, ограниченные характеристиками, проходящими через концы отрезков [pi/2+2*pi*k,3*pi/2+2*pi*k].

roma73

http://www.imagepost.ru/images/382/Untitled.jpg
сорри, ошибься. вот верное условие=)
дада, там характеристики такие.
это же волновое уравнение, значит нужно разбивать решение на 2 области относительно прямой x=1/2 t. выше нее получились ромбы, как ты и говорил, т.к. u(x,t = 1/2 (phi(x+1/2t)+phi(x-1/2 t. что-то вроде того, точно не помню.
а вот в бласти x<1/2 t получил выражение для u(x.t которое зависит от alpha, экспененты, фи в разных точках....еще там одно из слагаемых вообще интеграл.... не знаю как найти область, где эта вся сумма равна нулю. подошел к преподу, говорит используй характеристики....а здесь я пас=(

lenmas

а вот в бласти x<1/2 t получил выражение для u(x.t которое зависит от alpha, экспененты, фи в разных точках....еще там одно из слагаемых вообще интеграл....
Не, ну ты все правильно делал. Краевое условие u_x-u|_0=0 это условие упругого закрепления. То-есть волна, когда доходит до левого края, начинает отражаться как-то и бежит в другую сторону. Потом до края доходит нулевая часть начального условия (та, которая была при t=0 на отрезке [pi/2,3*pi/2], естественно, что она не отражается, то-есть получается, что там будет часть нулевой области. Нужно этот момент отследить. Если правильно помню, то там какая-то экспоненциальная добавка будет после отражения оставаться. Надо аккуратно все смотреть.

lenmas

Короче, если все сделать так, как ты писал, то решение получится в области x<t/2 примерно такое
[math]  $$  u(t,x)=\frac{\varphi(x+\frac12t)+\varphi(\frac12t-x)}2-\int\limits_0^{\frac12t-x}[\varphi(\eta)+\alpha(2\eta)]e^\eta\,d\eta\,e^{x-\frac12t}.  $$  [/math]
То-есть видно, что волна отразилась симметрично, но из-за упругости закрепления осталось "последействие" в виде затухающей при удалении от прямой x=t/2 экспоненты, и в случае общих phi(x) и a(t) нет гарантии, что интеграл обратится в нуль (хотя подынтегральное выражение на некоторых отрезках и обращается в нуль). Так что ответ только ромбики в области x>t/2 :)

roma73

спасибо большое! Звучит правдоподобно=) буду надеяться, что препод тоже так подумает =)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: