Решить систему уравнений в явном виде

Polyphem

Дана система 4-x уравнений в трехмерном кубе [math]$[0, 1]^3$[/math] для функций [math]$u(x,y, z, t\ v(x, y, z, t\ w(x, y, z, t\ p(x, y, z, t$[/math]:
[math]$u_t - \mu \Delta u = -p_x,$[/math]
[math]$v_t - \mu \Delta v = -p_y,$[/math]
[math]$u_x + v_y + w_z = 0,$[/math]
[math]$p_z = F(x, y, z, t);$[/math]
Граничные условия:
[math]$u_z = v_z = w = 0$ [/math] при [math]$z = 0$[/math]
[math]$u = v = 0, w = p_t$ [/math] при [math]$z = 1$[/math]
[math]$u = v = 0$[/math] на боковой поверхности куба для любого [math]$t$[/math]
Хочется построить явное решение этой системы для какого-либо случая. Можно ли подобрать такую функцию [math]$F(x, y, z, t)$[/math] для которой решение системы выписывалось бы в явном виде? В каком виде искать решения?
Я пробовал различные модификации тригонометрических функций, типа поиск решения в виде (и других подобных произведений):
[math]$u = \alpha(t) \sin (\pi x) \sin (\pi y) \cos(\frac{\pi}{2} z)$[/math]
[math]$v = \beta(t) \sin (\pi x) \sin (\pi y) \cos(\frac{\pi}{2} z)$[/math],
далее [math]$w(x, y, z, t)$[/math] можно найти из уравнения [math]$div = u_x + v_y + w_z = 0$[/math] плюс начального значения при [math]$z = 0$[/math]. Потом значения функции [math]$p$[/math] находить из ограничения [math]$p_z = F$[/math] и значения [math]$w$[/math] при [math]$z = 1$[/math]. Однако, мои попытки не увенчались успехом.
P.S. Зачем мне это нужно? Первая причина, хочется "пощупать" решение этого уравнения, где это возможно. Вторая причина, иметь эталон при оценки качества численного решения, чтобы на нём проверять численные схемы.
Заранее благодарю за помощь.

sashok01

если поменять условия на боковой поверхности (u=v=0) на следующие:
При x= 0 и x=1 u=0, dv/dy=0
При y= 0 и y=1 v=0, dy/dx=0
а u и v искать в виде
u=a(t)sin(PI*x) cos(PI*y) cos( PI/2 *z)
v=b(t)cos(PI*x) sin(PI*y) cos( PI/2 *z)
тогда из уравнения для дивергенции будет следовать dw/dz= -( a(t) + b(t) ) * PI * cos(PI*x) * cos(PI*y)* cos (PI/2*z)
откуда w = -( a(t) + b(t) ) * 1/2 * cos(PI*x) * cos(PI*y)* sin (PI/2*z) + W(x,y,t) (из граничных условий при z=0 W(x,y,t) = 0)
при этом из первых двух уравнений следует, что
dp/dx = C_1 a(t)sin(PI*x) cos(PI*y) cos( PI/2 *z)
dp/dy = C_2 b(t)cos(PI*x) sin(PI*y) cos( PI/2 *z)
откуда следует, что
p = -C_1/PI* a(t)cos (PI*x) cos(PI*y) cos( PI/2 *z) + P1(y,z,t) = -C_2/PI* b(t)cos (PI*x) cos(PI*y) cos( PI/2 *z) + P2(x,z,t)
откуда следует C_1*a(t)=C_2*b(t) и
p=C(t)cos(PI*x)cos(PI*y)cos(PI/2*z) + P(z,t)
пусть F(x,y,z,t) = 2*C(t)/PI*cos(PI*x)cos(PI*y)sin(PI/2*z)
тогда p = C(t)cos(PI*x)cos(PI*y)cos(PI/2*z) + PP(x,y,t)
w|(z=1) = -( a(t) + b(t) ) * 1/2 * cos(PI*x) * cos(PI*y) = dp/dt | (z=1) = dC(t)/dt cos(PI*x)cos(PI*y)cos(PI/2*z) + dPP(x,y,t)/dt = dPP(x,y,t)/dt
вроде бы ничего не мешает взять PP(x,y,t) так, чтобы равенство w|(z=1) = dp/dt|(z=1) выполнялось.
В общем, вроде бы все условия удовлетворяются.
Есть статья, где автор решал что-то похожее для задачи теории упругости (но там не было времени, задача статическая была). У него были именно такие специфические граничные условия сбоку, как я написал, в случае полного закрепления (u=v=0) такой подход не проходил.
Там еще бралось a(t) и b(t) в виде e^at и e^bt, попробуй тоже так взять.
Если получится для специфических граничных условий, можешь потестировать свои численные методы в этом случае, и если всё нормально, то смело ставить обычные граничные условия в программу

Polyphem

Мазай, во-первых, огромное тебе спасибо.
Однако, позволь задать несколько уточняющих вопросов:
при этом из первых двух уравнений следует, что
dp/dx = C_1 a(t)sin(PI*x) cos(PI*y) cos( PI/2 *z)
dp/dy = C_2 b(t)cos(PI*x) sin(PI*y) cos( PI/2 *z)
C_1a(t) - это некая функция от t или это произведение константы С_1 на функцию a(t).
Мне не понятен этот переход, так как в первых двух уравнениях записана нестационарная задача,
а потому должны появляться производные по t для функций a(t) и b(t). Поясни, пожалуйста, как из первых двух уравнений следует то, что ты написал.
Дальнейшие рассуждения, насколько я понимаю, строятся из этого предположения.
Есть статья, где автор решал что-то похожее для задачи теории упругости (но там не было времени, задача статическая была). У него были именно такие специфические граничные условия сбоку, как я написал, в случае полного закрепления (u=v=0) такой подход не проходил.
Не подскажешь название и автора статьи?
Еще раз благодарю за попытку помочь

sashok01

Сорри, я подразумевал, что a(t) и b(t) - экспоненты e^(at) и e^(bt) и после дифференцирования они остаются такими же. Поэтому там C1 = (3/4*mu*PI^2 - a а C2 = (3/4*mu*PI^2-b)
- вот статья, о которой я говорил

Polyphem

Спасибо большое за статью, а главное за факт, что в случае моих граничных условий подобный подход не даёт результата не только у меня :) Постараюсь сначала сделать с изменёнными граничными условиями.
p=C(t)cos(PI*x)cos(PI*y)cos(PI/2*z) + P(z,t)
пусть F(x,y,z,t) = 2*C(t)/PI*cos(PI*x)cos(PI*y)sin(PI/2*z)
тогда p = C(t)cos(PI*x)cos(PI*y)cos(PI/2*z) + PP(x,y,t)
Тут есть небольшая неточность, из первого представления p=C(t)cos(PI*x)cos(PI*y)cos(PI/2*z) + P(z,t) следует, что PP(x, y, t) реально не зависит ни от x, ни от y, поэтому это просто некая функция времени. Но, кажется, эта проблема пробивается.

Polyphem

К сожалению, изменяются также и граничное условие w = 0 при z = 0 :(
Если требовать уловие при z = 1, условие w= 0 при z = 0 перестаёт выполняться

Polyphem

Для полноты картины (возможно, появятся дополнительные идеи) получившееся решение имеет вид
[math]  $ u = e^{at} \sin(\pi x) \cos(\pi x) \cos(\frac{\pi}{2} z) $    $ v = e^{at} \cos(\pi x) \sin(\pi x) \cos(\frac{\pi}{2} z) $    $w = 4 e^{at} \cos(\pi x) \cos(\pi y) (1 - \sin(\frac{\pi}{2}z + \bar{w}(t)$    $p = (a + \frac{9\pi^2\mu}{4}) e^{at} \cos(\pi x) \cos(\pi y) \cos(\frac{\pi}{2}z) + \bar{p}(t$  [/math]
причём
[math]  $\bar{p}'(t) = \bar{w}(t)$  [/math]
однако, это отличается от исходной задачи не только граничными условиями на боковой поверхности, но также и на нижней крышке, то есть [math]$w = 0$[/math] при [math]$z = 0$[/math], как видно из формулы, не выполняется.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: