На ВМК отвратительно преподают математику

KiNo

Недавно я прочитал статью Арнольда, из которой неожиданно для себя узнал такой замечательный факт:
Определитель матрицы — это (ориентированный) объём параллелепипеда, рёбра которого — её столбцы.
Из этого геометрического факта элементарно выводятся все свойства определителя. На ВМК определитель вводится как число, вычисляемое по какой-то жуткой формуле. Я уверен, что через пару лет после окончания ВМК ни один выпускник, который не занимается математикой, не может дать определение определителя, или хотя бы объяснить, зачем он нужен.
Это побудило меня пересмотреть курс математики, который дается на первых двух курсах ВМК. Оказалось, для любого понятия или теоремы есть простая геометрическая иллюстрация, которую на ВМК зачем-то скрывают от студентов. В качестве примера приведу интегрирование по частям - оно иллюстрируется простой картинкой, которую, увидев однажды, можно вспомнить и воспроизвести через много лет.
Прочитав доказательство формулы интегрирования по частям, которое дается в ВМКшном учебнике ("Математический анализ", авторы - Ильин, Садовничий, Сендов я был поражен, насколько оно нестрого и непоследовательно. Сначала нотация для интеграла вводится как чисто синтаксическая вещь, и ничего не говорится о том, что dx - это дифференциал:

Затем совершенно неожиданно оказывается, что подынтегральное выражение - это дифференциал, а сам интеграл надо понимать как некий оператор, применяемый к дифференциалу:

Теперь рассмотрим определение дифференциала, которое было дано в учебнике ранее:

Из него следует, что дифференциал - это функция двух переменных - точки x и приращения delta_x. Это делает определение интеграла совершенно неясным. Все усугубляется тем, что вводится еще одна сущность - "дифференциал аргумента", определение которого стоит вообще ниже всякой критики:

Все это не мешает авторам бойко оперировать со всеми этими невнятными сущностями при доказательстве теоремы об интегрировании по частям:

Возникает закономерный вопрос - что мешало авторам подкрепить эти туманные рассуждения простой картинкой?
Я согласен с выводом Арнольда, что при таком преподавании математики
у каждого разумного человека на всю жизнь останется отвращение и к определителям, и к якобианам, и к теореме о неявной функции.

Glofish

настолько что даже песня была какая то со словами
"а под столом сидел огромный ботанина, он сразу же догнал меня и лекцию мне прочитал , скотина"

Nefertyty

Я думаю тут дело в том, что авторы учебников и лекторы всё-таки обычно специалисты не в обучении, а в какой-то относительно узкой области математики. Есть определения и факты из матанализа, которые они не используют в работе, а рассказать студентам надо.
В учебнике, на который ты ссылаешься, имхо отличное доказательство теоремы о неявной функции, я его смог запомнить когда готовился к госам (это был один из страшных билетов, которых все боялись - потому что в других учебниках доказательства переусложнены и запомнить их могут только самые зверские ботаны). А такого учебника, чтоб каждая теорема была изложена лучше, чем у других - я не видел.

Martika1

Жутко извиняюсь, не в защиту ВМК будь сказано, но геометрический смысл интегрирования по частям очевиден и, кажется, давался в школьной программе.
А геометрический смысл определителя вам давали, только не на линейной алгебре, а в курсе аналитической геометрии. Это в трёхмерном случае, для объема параллелепипеда. Площадь параллелограмма через определитель давали в школе, хотя в обычных школах не говорили, что это определитель. Но это устная задача, вообще-то.

Jusun

Автор прав, я с ВМК, и картинка открыла мне глаза. Хотя я не сразу понял, куда девается площадь белого прямоугольника в начале координат, пока не обратил внимание, что интеграл неопределённый. Саму статью к картинке не читал.
Я раздолбай правда. Но матан реально нудный был. Линейка была гораздо лучше.

BSCurt

Ну с определителем проблема в том что философски существует миллион правильных способов определить его, и ориентированный объём параллелепипеда - это не самый конструктивный из них, вообще-то, что определитель это объем параллелепипеда используется в матане при изучении интеграла по нескольким переменным.
С интегрированием по частям следующая штука - на самом деле они интегрирую не функцию, а дифференциальную форму, но этот факт тщательно скрывают, но это вообще проблема всего классического курса матана.

griz_a

Про определитель, мне кажется, это ваше упущение - уж замену переменной-то в двойном\тройном интеграле когда делали, то наверняка объясняли, что определитель матрицы Якоби - это во сколько раз изменился объем, натянутый на базисные векторы?
А вообще не знаю как курс матана, а вероятностные курсы мне на ВМиК совсем не понравились - очень много материала и очень тяжело из него выловить суть.

Nefertyty

Из него следует, что дифференциал - это функция двух переменных - точки x и приращения delta_x. Это делает определение интеграла совершенно неясным. Все усугубляется тем, что вводится еще одна сущность - "дифференциал аргумента", определение которого стоит вообще ниже всякой критики:
дифференциал и обозначения dx и dy придумали ещё в 17ом веке, как бесконечно малые величины, строгой теории которых ещё не было
интеграл представляется как бесконечная сумма (знак интеграла получается afaik от буквы S из слова сумма) бесконечно малых величин (отсюда и приписывание dx после f(x - а дальше оказывается, что можно применять некоторые алгебраические правила к dx и dy, как к числам - но не все правила
чтоб изложить более строго и понятно, почему одни правила можно применять, а другие нет, надо до курса матана изучать топологию, линейную алгебру и ещё немного из дифференциальной геометрии - но так не делают, чтобы не откладывать изучение практически важных тем, а просто учат писать dx после интеграла - тогда понять это невозможно, надо запомнить

c3po

Про определитель, мне кажется, это ваше упущение - уж замену переменной-то в двойном\тройном интеграле когда делали, то наверняка объясняли, что определитель матрицы Якоби - это во сколько раз изменился объем, натянутый на базисные векторы?
Нет, не объясняли.
Учебники по матану отвратные, разобраться и почуствовать суть есть шанс либо если упороться и искать альтернативную литературу по мутным пунктам, либо если очень повезет и попадешь к адекватному семинаристу старой закалки, который на них плевал и объясняет по человечески.

stm8853410

Прикольно. Один мой знакомый мехматянин на втором курсе тоже прочитал Арнольда, и тоже начал возмущаться, что от него полтора года скрывали геометрический смысл определителя.
Ну мы над ним поржали: всему курсу об это говорили на трёх различных предметах, а от него скрыли. А мораль была такая: не хочешь ходить на лекции — почитай, чтоли, в википедии.
Про ВМК не знаю, может, у вас и правда нигде не говорится. Тогда это печально.

KiNo

В учебнике, на который ты ссылаешься, имхо отличное доказательство теоремы о неявной функции, я его смог запомнить когда готовился к госам (это был один из страшных билетов, которых все боялись - потому что в других учебниках доказательства переусложнены и запомнить их могут только самые зверские ботаны)
Я изучил вопрос с теоремой о неявной функции. Насколько я могу судить, везде она доказывается через теорему о сжимающем отображении. Эта теорема мне кажется простым и красивым фактом. Применив ее к построению неявной функции, мы получаем теорему о неявной функции сразу в самом общем виде, к тому же с возможностью численно посчитать эту неявную функцию, что очень хорошо для ВМК.
В учебнике, на который я ссылаюсь, используется другое доказательство, в частности там используется муторная индукция по размерности пространства. Мне это доказательство кажется намного хуже общепринятого. Интересно, что считают люди, которые занимаются математикой.

Nefertyty

Я изучил вопрос с теоремой о неявной функции. Насколько я могу судить, везде она доказывается через теорему о сжимающем отображении. Эта теорема мне кажется простым и красивым фактом. Применив ее к построению неявной функции, мы получаем теорему о неявной функции сразу в самом общем виде, к тому же с возможностью численно посчитать эту неявную функцию, что очень хорошо для ВМК.
В учебнике, на который я ссылаюсь, используется другое доказательство, в частности там используется муторная индукция по размерности пространства.
может быть, я перепутал учебник
кажется, у меня лежит дома такой, проверю

griz_a

 
Я изучил вопрос с теоремой о неявной функции. Насколько я могу судить, везде она доказывается через теорему о сжимающем отображении.

Афаик, классическое доказательство в рамках матана такое:
1) В размерности два теорема довольно проста - нужно выделить прямоугольник с сохранением знака производной, у которого на верхней границе F положительна, а на нижней отрицательна. Автоматически получили существование и единственность.
2) При любой другой размерности рассматривается функция только от одной из переменных, эта переменная устраняется, дальше нужно отследить только, что для оставшейся функции выполнены условия теоремы.
Доказательство очевидно и наглядно, если бы я ее доказывал сам, то доказал бы точно также. Плюс оно дает достаточно ясную картину почему эта теорема верна - можно сжать так сильно, что фактически отображение строго монотонно.
Сжимающие отображения - это несколько более глубокие материи, во-первых. Теорему тогда нужно доказывать, а что-то я в курсе матана ее не припомню, тем паче на первом курсе.
А во-вторых не уверен, что аналогичное рассуждение для отображений будет доступно первокурснику.
Ну и суть теоремы при этом ускользает, остается хитрая конструкция с сомнительным смыслом.

griz_a

Кстати, насчет свойств определителя, тривиально следующих из определения про объем. Мне всегда казалось, что полезно знать это альтернативное определение определителя, но вот как основное использовать его совершенно неудобно. Чтобы разубедить меня, можно начать с доказательства тривиального свойства "при транспонировании матрицы определитель не меняется". Затем попробуем доказать, скажем, что при умножении матриц определители перемножаются

JuLsJuLs

Затем попробуем доказать, скажем, что при умножении матриц определители перемножаются

Кому что удобно - это вкусовщина, так что я не то, чтоб кого-то пытался убедить в чем-нибудь, но пример неудачный. Как раз мультипликативность это очень просто и приятно следует из того, что определитель это объем (во всяком случае, проще, чем из формул). Про транспонированную матрицу тоже следует, но там надо хоть что-то понимать про дуальное пространство.

griz_a

Пардон муа, но в начале первого семестра, когда проходят определители, трудно ожидать от студентов, что они будут представлять себе структуру сопряженного к R^n пространства и понимать, что скалярное произведение у ковекторов такое же, как у порождающих их векторов.
Достойная арнольдовщина, надо сказать, очень в стиле знаменитого
"е в школе надо определять как значение в 1 того решения дифура y'=y, которое в 0 равно 1".
А про объем я не очень понимаю, откуда вообще могут возникнуть произведения объемов, кроме как за счет перехода в пространство в два раза большей размерности.
Что самое занятное - на вопрос "что такое ориентированный объем пятимерного тетраэдра, натянутого на данные векторы" условный выпускник не сможет ответить точно также как вспомнить формулу суммирования со знаками перестановок :) Поэтому я вообще плохо понимаю, откуда взялась идея, что это определение чем-то лучше.

stm8853410

А про объем я не очень понимаю, откуда вообще могут возникнуть произведения объемов
С этим как раз на пальцах всё хорошо. Линейный оператор матрицы A — какое-то растяжение/сжатие пространства, причём объём любого тела увеличивается в Det(A) раз. Пусть было тело объёма 1, применили оператор A — стало тело объёма Det(A потом применили оператор B — стало тело объёма Det(B)Det(A).

JuLsJuLs

А про объем я не очень понимаю, откуда вообще могут возникнуть произведения объемов, кроме как за счет перехода в пространство в два раза большей размерности.
Подсказываю: ?
Про арнольдовщину не надо передергивать. Разные определения удобны для разных вещей.

BSCurt

Определение через объем выбивается из общего курса алгебры всё же.
Можно определять через внешнее произведение столбцов (или строк или через произведение собственных чисел матрицы.

griz_a

Все бы хорошо, но определители проходятся для матриц как для формальных таблиц из чисел задолго до всяких операторов. По сути операторы как таковые у нас вообще пошли в линале, а определители вовсю фигурировали еще в алгебре и ангеме. В таком разрезе определитель матрицы как объем я понимал как "определитель матрицы есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы-строки этой матрицы".
А так мне нужно связывать с матрицей преобразование пространства, потом доказывать, что в каждом базисе у меня линейный оператор, заданный матрицей, одинаковым образом меняет объем какого-то сорта тел (видимо, тетраэдров еще нужно понять куда вообще эти тетраэдры перейдут, потом мне надо доказывать, что композиция операторов влечет перемножением их матриц и т.д. и т.п. Это, конечно, хорошо, что у людей определитель будет сразу к оператору привязан, но, имхо, слишком много информации для таких простых вещей.
В определении топикстартера, кстати, никаких операторов нет - именно что "объем параллелепипеда"

griz_a

Подход через "изменения объема при отображении" не вписывается в определение, которое предложил топикстартер.
Я ни в коем случае не пытался критиковать определение определителя как объема. Собственно, видя сколько-то нестандартную задачу про определитель, я сперва смотрю на него именно как на объем, поэтому отвержение этого определения, конечно же, глупо.
Я пытаюсь критиковать идею о том, что это определение удобно как исходное, с которого стартовать. По-крайней в рамках мехматской\вмкшной программы. Имхо, алгебраическое определение удобно тем, что оно ничего не требует, можно свыкнуться с конструкцией, научиться его считать, а дальше уже пожалуйста - выяснить что это объем тетраэдра\коэффициент изменения объема при линейном отображении и прочее.

demetrius86

Учебники по матану отвратные, разобраться и почуствовать суть есть шанс либо если упороться и искать альтернативную литературу по мутным пунктам, либо если очень повезет и попадешь к адекватному семинаристу старой закалки
Никто не в состоянии создать идеальный учебник удовлетворяющих всех и каждого, да ещё и соответствующий требования курса читаемого в Университете.
Идеальных учебников не бывает.
ИМХО: Надо читать разные учебники и рассматривать сущности с разных точек зрения.
На экзаменах это правда может оказаться чревато тем, что терминология отличается, да и некоторые "экзаменаторы" совсем не в восторге от подходов отличающихся от лекционного курса, не говоря уже о терминологии. (терминологию всё-таки надо знать "свою")

KiNo

Подход через "изменения объема при отображении" не вписывается в определение, которое предложил топикстартер.
Можно оставить имеющееся определение, если оно требуется для строгости. Главное сказать, что по сути определитель - это объем, все свойства определителя являются тривиальными следствиями этого факта. Затем сказать, что теперь для строгости мы определим определитель через формулу, которая выражает этот объем и проверим, что свойства определителя выводятся из формулы.

griz_a

Во-первых, про это все-таки говорят сто раз. Сомневаюсь, что на ВМиК как-то иначе. Я слышал это минимум в пяти предметах: ангем, матан, алгебра, линал, теорвер - везде эта тема всплывает.
Во-вторых, это не главное. Если как вы через объем параллелепипеда говорить, то я бы не сказал, что так уж все свойства тривиально следуют. По сути через объем удобно доказывать некоторые факты про определители с простой геометрической структурой системы строк\столбцов + удобно понимать почему определитель вырожденных матриц нулевой.
Нет ничего такого в этом определении, что бы заставляло бы его считать самым крутым\главным\понятным. Хотя бы потому, что для размерности выше 3 в объеме параллелепипеда нет ничего такого, что бы доставляло бы удовольствие в работе с ним. Или потому что с ориентацией не сильно меньше хлопот чем с четностью перестановки.

shale60

Во-первых, про это все-таки говорят сто раз. Сомневаюсь, что на ВМиК как-то иначе. Я слышал это минимум в пяти предметах: ангем, матан, алгебра, линал, теорвер - везде эта тема всплывает.
На ВМК линал, общая алгебра и ангем запиханы в один общий годовой курс. (и это совершенно непонятно, конечно. Если ангема было достаточно, то ещё полгода алгебры явно бы не помешали)
Несколько раз о геометрическом смысле определителя говорили, конечно, но я согласен с претензиями о построении курсов. Почти везде формальная строгость преобладает над сутью. Правда, это проблема не только ВМК.

KiNo

Почти везде формальная строгость преобладает над сутью.
Нет на деле никакой формальной строгости, я как раз об этом писал в исходном посте.

Nefertyty

посмотрел про неявную функцию в учебнике ильин-садовничий-сендов
там две формулировки: классическая для R^n и обобщение на нормированные линейные пространства
первое доказывается классическим образом - как раз его легко запомнить, плюс раскрывается геометрический смысл
по поводу вычислений - ну это же решение уравнения, в общем на вычметодах должны рассказывать, но в общем если не знаешь ни одного метода, то из доказательства понятно, что можно делением пополам считать, так как функция выходит монотонной в какой-то окрестности
а более общая формулировка даётся в следующей главе с доказательством через сжимающие отображения
по-моему, отлично тема раскрыта

shale60

а более общая формулировка даётся в следующей главе с доказательством через сжимающие отображения
Теорема о неподвижной точке первый раз появляется на третьем (или даже четвертом) курсе, насколько я помню.

Nefertyty

перечитал арнольда
я вот не понял, зачем он наехал на многообразия
типа бутылку клейна недостаточно склеить из прямоугольника, а обязательно надо вложить в R^4? от этого что-то становится понятнее?
или вот теория относительности
зачем придумывать для пространства-времени какое-то объемлющее евклидово пространство, если физического смысла в этом нет?
и про группы тоже
ну допустим все группы можно предствавить как группы изоморфизмов, и не бывает каких-то особых более абстрактных групп
ну и что? во-первых, кольца и поля, если ничего не путаю, бывают
а во-вторых, когда мы вводим фактор-группу или там гомологии изучаем - обязательно придумывать представления через изоморфизмы каких-то левых множеств?

Nefertyty

Теорема о неподвижной точке первый раз появляется на третьем (или даже четвертом) курсе, насколько я помню.
ну в этом как раз ничего сложного нет, можно дать сразу после доказательство полноты R^n (aka критерий Коши) - по-моему нам на первом курсе давали

KiNo

Сейчас ради интереса написал прогу, которая вычисляет и визуализирует работу сжимающего отображения при вычислении неявной функции, заданной соотношением f(x,y) = 0, где x и y лежат в R.
Для окружности x*x + y*y = 1 в окрестности точки (0,1) получилась такая картинка:

Синяя линия - это окружность, верхняя прямая - это нулевое приближение. Дальше идут параболы все возрастающих степеней, которые все более и более точно огибают окружность.
Арнольд писал, что во времена Ньютона математики проводили огромное число ручных вычислений, смотрели какими свойствами обладают возникающие объекты, и пытались найти и объяснить закономерности. В наше время при изучении математики студенту сразу дают доказательства теорем, не объясняя откуда они возникают и зачем они нужны. Но компьютер дает возможность экспериментировать в реальном времени. На этом вообще можно построить значительную часть программы ВМК.
Замечательно кстати, что сжимающие отображения, про которые сказал, что это высокие материи, отлично поддаются визуализации.

algimunt

На самом деле надо просто понимать разницу между строгим определением объекта и его геометрическим смыслом (иллюстрацией). Заменять определение геометрической иллюстрацией недопустимо на математическом факультете (будь то мехмат или ВМК). Простейший пример - производная: если ее _определять_ как угловой коэффициент касательной к графику функции (а не иллюстрировать определение таким образом то как быть с производными функций типа x^2*sin(1/x) в нуле и т.п.? Аналогично с интегралом: определи его как площадь под графиком функции, и уже неясно, что делать с функцией y=-x^2, а даже если и преодолеть эту трудность, введя "площадь со знаком", с такими страшными функциями как функции Дирихле или Римана, у которых и график-то изобразить затруднительно, ничего сделать не получится.
Это я к тому, что геометрическая иллюстрация должна быть, конечно, но никак не заменять определение объекта, по крайней мере для математиков. А каким-нибудь инженерам и другим гуманитариям, в принципе, можно.
Соображения о строгости математического рассуждения - это как раз то, что студенту-математику надо понять, увидеть разницу между наглядным представлением объекта и абстрактным понятием. Например, рассуждая о группах, можно представлять себе Z_p или S_n, но иметь при этом в виду, что это может вполне быть и какая-нибудь другая группа, ведь иначе можно обмануться аналогиями с представляемыми, распространив их на общий случай.

algimunt

Теорема о неподвижной точке первый раз появляется на третьем (или даже четвертом) курсе, насколько я помню.
На мехмате раньше, на втором, при доказательстве теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши в курсе ОДУ. Кстати, именно там она и по существу, а вот в теореме о неявной функции незачем ее притягивать за уши, разве что с целью "посмотрите-ка, а вот еще как можно".

assasin

Кстати, по поводу интегрирования по частям. Картинка иллюстрирует геометрический смысл формулы интегрирования по частям для определённого интеграла, а в учебнике обсуждается неопределённый интеграл. Вообще-то, это две большие разницы (пусть и есть некоторая связь в виде формулы Ньютона-Лейбница).

griz_a

В наше время при изучении математики студенту сразу дают доказательства теорем, не объясняя откуда они возникают и зачем они нужны.

Еще раз повторю - это какое-то ваше личное упущение. При изучении математики студентам овердохера рассусоливают откуда и как все получается. Если открыть, например, учебник Зорича и прочитать предваряющие теорему о неявной функции рассуждения, то это покажется тривиальной теоремой (для 2 переменных которую любой обладающий достаточной техникой легко докажет.
Как раз-таки рассуждение через сжимающее отображение очень ненаглядно, совершенно непонятно интутивно, почему это хитрое отображение стянется именно к искомой точке, зачем в теореме те условия, которые есть и т.д.. Для первокурсника это чисто техническое доказательства
Что говорит рассуждение через сохранение знака - давайте возьмем кусочек окружности. Тогда если этот кусочек не содержал крайней правой или крайней левой точки, то кусочек будет обычной функций от y, которая легко обратится. Это и есть содержание теоремы о неявной функции, а вовсе не сходимость каких-то там непонятно откуда взявшихся сжимающих отображений (на уровне первокурсника).

Sergey79

Оказалось, для любого понятия или теоремы есть простая геометрическая иллюстрация, которую на ВМК зачем-то скрывают от студентов. В качестве примера приведу интегрирование по частям - оно иллюстрируется простой картинкой, которую, увидев однажды, можно вспомнить и воспроизвести через много лет.
если честно я ту картинку для интегрирования по частям совершенно не понял, даже внимательно читал текст и все равно не понял.
А уж что может быть проще формулы интегрирования по частям, вытекающей из свойства производной? Все равно свойство производной запомнить надо, и тогда очевидно запоминается то же самое свойство в интегрировании.
Прочитав доказательство формулы интегрирования по частям, которое дается в ВМКшном учебнике ("Математический анализ", авторы - Ильин, Садовничий, Сендов я был поражен, насколько оно нестрого и непоследовательно. Сначала нотация для интеграла вводится как чисто синтаксическая вещь, и ничего не говорится о том, что dx - это дифференциал:

так математика - это и есть синтаксическая вещь. Геометрические аналоги понятнее только людям с определенным типом мышления. А вот меня наооборот они всегда убивали. В то же время, такие синтаксические подходы для меня были самыми простыми - видимо есть склонность к изучению языков. Когда ты не задаешь вопроса почему это слово называется так или иначе, или откуда такая грамматика в иностранном языке.

tester1

и про группы тоже
ну допустим все группы можно предствавить как группы изоморфизмов, и не бывает каких-то особых более абстрактных групп
а все векторные пространства над полем - как пространства функций, принимающих значения в этом поле ^_^
это так, к слову

Lokomotiv59

Определитель матрицы — это (ориентированный) объём параллелепипеда, рёбра которого — её столбцы.
Очень плохое определение для базового. В качестве теоремы сойдет.
параллелепипед - призма, основанием которой служит параллелограмм. Что-то ничего про ребра-столбцы не вижу.
Не говоря уже о непонятности термина "ориентированный объем".

bars70

Например, рассуждая о группах, можно представлять себе Z_p или S_n, но иметь при этом в виду, что это может вполне быть и какая-нибудь другая группа, ведь иначе можно обмануться аналогиями с представляемыми, распространив их на общий случай.
это верно. даже на "удачной картинке" (которую я люблю, но рисую, когда рассказываю про интеграл от обратной функции) остается за кадром вопрос "а что, если u(v) не строго монотонная, и что такое интеграл от нефункции v(u)" (наверное тут и имеется в виду интегралы от дифф. форм, не помню, к сожалению, эти обобщения)
а вообще каждое определение по-своему удобно и полезно. определитель через объем нужен для развития геометрического мышления, определитель как сумма произведений - для комбинаторно-группового мышления. а наличие всей совокупности определений - для формирования общего математического мышления и возможности будущему математику выбирать направление по вкусу и характеру.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: