Задачка про продолжительность жизни

maxas67

Пусть для новорожденного мат. ожидание срока его жизни составляет 70 лет.
Пусть людям, которым сейчас 65 лет, в среднем осталось жить 11 лет.
Сколько лет в среднем проживет человек, которому сейчас n лет?
Распределение Гауссовское.

Vitaminka

еще бы напомнил его плотность

Nefertyty

> Распределение Гауссовское.
Невозможно, так как продолжительность жизни всегда неотрицательна.

ocean

> продолжительность жизни всегда неотрицательна.
больше или равна -0.75
при некоторых допущениях относительно того, что считать жизнью

zuzaka

Надо полагать, имелась в виду аппроксимация распределение вблизи матожидания.

dysh

\int\limits_n^\infty xf(x) dx ,где f(x) --- плотность распределения.
Только нифига оно не гауссовское... И "средний срок жизни" это вовсе не "для новорожденного мат. ожидание срока его жизни", это "для живущего сейчас мат. ожидание срока его жизни, если без несчастных случаев". А для новорожденного я бы больше 45-50 не дал бы. Многие умирают в детстве, другие в возрасте 18-25.
Но если гауссовское, то подставив n=65 получим уравнение из которого найдем дисперсию

maxas67

Вообще говоря можете предложить другую модель, может быть другое распределение подходит лучше. Просто эта задача иллюстрирует заблуждение, что если люди живут в среднем 70 лет, то 50-летнему осталось дожить 20. Но самом деле, если он уже прожил 50, избежав всяких несчастных случаев, то в среднем ему осталось жить куда больше. Классно будет, если кто-нубудь, подкорректировав модель, напишет формулу - сколько лет осталось жить n-летнему человеку.

dysh

Легко опровергается так: "а семидесятилетнему остались считанные месяцы".
Сформулирую реальную математическую задачу: считая рождаемость за последние 100 лет постоянной (экспоненциальной) и располагая данными переписи --- плотность распределения возраста ныне живущих, найти плотность распределения срока жизни человека в указанный период.

Andrey43

всем читать актуарную математику

Maria80

Процесс выбывания из жизни логичней всего (в первом приближении) считать пуассоновским

Maria80

Интенсивность его, конечно, будет менятся, но ее можно вычислить имея данные о смертности в зависимости от возраста.

maxas67

Да хоть каким. Формулу в студию и тогда можно обсудить.

stm7543347

Блин. СлуПы.

natunchik

ну типа это ж просто.
Гы гы гы, написАл эту строчку, потом посидел полчаса над вычислениями, гы гы гы.
Короче, это реально просто:
пусть p(x) - плотность вероятности смерти в возрасте х, если ты уже родился. То есть как раз то распределение, которое мы можем легко получить из статистических данных.
Тогда вероятность умереть в возрасте от х1 до х2 - это просто Int[x1, x2](p(ksi)d ksi) (это я так определенный интеграл обозначил. А вероятность НЕ умереть, это 1 - этот_самый_интеграл.
Тогда плотность вероятности смерти в возрасте х при условии, что ты уже дожил до возраста х0 (х0 < x): P(x, x0) = p(x) / ( 1 - Int[0, x0] (p(ksi)d ksi) ). Это типа из основополагающей формулы условной вероятности легко получается. Да. Выкладки набивать влом =).
Собственно, это ответ. Ну то есть если вы дожили до х0 лет, то ваше распределение увеличивается обратно пропорционально вероятности не умереть до этого возраста. Которая от возраста достаточно сильно падает. А если вы хотите вероятность относительно вашего возраста, то вместо p(x) в числителе ставьте p(x + x0).
В пользу того, что я не ошибся, говорит то, что интеграл от той величины, которую я получил от х0 до бесконечности равен единицце (очевидно, если нарисовать

Всем с меня переццо полчаса!

Katty-e

Решение не очень удачное.
1) Плотность может меняться с возрастом, то есть не просто переситываться на новом вероятностном пространстве, но менять структуру. Нужны данные.
2) Как известно актуариям, вероятность прожить еще двадцать лет практически одинакова в возрасте 50 и 51 год. Что очевидно невозможно при таком пересчете вероятности.
3) Кто гарантировал стационарность плотности во времени ?
А ДиззиДэн на самом деле умело кинул фразу я вот сижу и думаю, что это он имел в виду ?

natunchik

Перечитай решение еще раз. ВНИМАТЕЛЬНО!

Katty-e

Твое решение, повторяю, предполагает КРАЙНЕ простую структуру распределения. Что не подтверждается данными. Предложенная плотность не имеет смысла, поскольку меняется каждые 10 лет. Поэтому выводы неверны.

natunchik

Ща. Мое решение предполагает ПРОИЗВОЛЬНУЮ сложность распределения. ПРОИЗВОЛЬНУЮ!
Как ты будешь ее вычислять из статистических данных экстраполируя на будующее - это совсем другая проблема, которая нематематическая на самом деле.
Но в предположении о том, что ты получил ПРАВИЛЬНОЕ распределение продолжительности жизни, ответ, данный мной, правильный! Причем, поскольку разных ответов на данный вполне конкретный вопрос существовать ИМХО не может, мой ответ ЕДИНСТВЕННО ВЕРНЫЙ!
Теперь ботай!
ЗЫ: Еще раз ботай. Потому что из трех пунктов твоего возражения 1-ый я не понимаю, а 2 и 3 - просто не верны.

natunchik

А! Я понял! Ты просто невнимательно читал решение, поетому не заметил моего мега-коммента, что если ты хочешь получить плотность распределения вероятности смерти как f(x) где x - это не твой возраст, а время относительно текущего момента, то тебе нужно писАть
f(x) = p(x + x0) / ( 1 - Int [0, x0] (p(ksi)d ksi) )
где x0 - текущий возраст.
При этом p(x) - плотность распределения возраста смерти для людей, которые родились вместе с тобой. Может быть любой неотрицательной функцией интегрирующейся по Лебегу в 1 на [0, +inf].
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: