Подскажите, где почитать про интеграл Лебега, зависящий от параметра

PaPik58

У меня есть интеграл Лебега-Стилтьеса, зависящий от одного вещественного параметра.
I(a) = \int_R G(x,a)dF(x где F(x) - функция распределения.
Интересует, что говорит теория о возможности дифференцирования по a.
Посоветуйте книжку, где об этом рассказывается. (предельные переходы и производная).
Если со ссылкой, то вообще шикарно.
Спасибо.

sverum

У меня есть интеграл Лебега-Стилтьеса, зависящий от одного вещественного параметра.
I(a) = \int_R G(x,a)dF(x где F(x) - функция распределения.
Интересует, что говорит теория о возможности дифференцирования по a.
Посоветуйте книжку, где об этом рассказывается. (предельные переходы и производная).
Если со ссылкой, то вообще шикарно.
Спасибо.
Элементы общей теории меры и интеграла. Залил на green, на случай если по почте не дошло. Глава 8.

PaPik58

Дошло. Большое спасибо.

PaPik58

Только в этой книжке требуют, чтобы |dG(x,a)/da| <= g(x которая интегрируема. А послабее условий никаких не бывает?
Хотя, вряд ли...

sverum

Только в этой книжке требуют, чтобы |dG(x,a)/da| <= g(x которая интегрируема. А послабее условий никаких не бывает?
Хотя, вряд ли...
Для конечных мер это условие можно заменить на равномерную интегрируемость семейства (dG(x,a)/da) в окрестности рассматриваемой точки a.

svetik5623190

Сходу не скажу. Кажется, что вроде всё очевидно, но на самом деле это не так: имеются нюансы.
Есть весьма обёмная современная двухтомная монография: В. И. Богачёв, Основы теории меры
том 1 http://lib.mexmat.ru/books/40241
том 2 http://lib.mexmat.ru/books/40242
Там, скорее всего, эти вопросы обсуждаются (но я не уверен). Недавно вышло более свежее издание, смотрите его в Аргументе.

lenmas

Только в этой книжке требуют, чтобы |dG(x,a)/da| <= g(x которая интегрируема. А послабее условий никаких не бывает?
А тебе эти условия нужны?
Обычно хватает этой простой версии.
А так предельный переход под знаком интеграла, если последовательность (как выше было сказано) имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы. Это условие является близким к неулучшаемому (смотри например эту общую предельную теорему в книжке Поля Мейера "Вероятность и потенциалы". Там вроде сходимость почти всюду можно заменить на сходимость по мере к тому же. Сама теорема называется какая-то там теорема Витали о сходимости.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: