Задачка по матану

stm5693763

Может кто подскажет решение:
Пусть f(x,y) определен на X*Y, X=[a,b] Y=[c,d] и f(x,y) непр. по одной переменной при фиксированной другой переменной.Доказать, что как функция двух переменных функция f(x,y) будет непр. хотя бы в одной точке.

stm5693763

подскажите , может кто-нибудь в какой-нибудь книжке видел?

mtk79

а банальное "от противного" не работает ?

lenmas

Это из темы теорем Бэра о категориях. Берешь на каждой прямой, параллельной одной из осей, линейно интерполируешь по n равноотстоящим точкам. Получаешь последовательность f_n(x,y) непрерывных (по совокупности переменных!) функций на прямоугольнике, которая поточечно сходится к f(x,y). Ну и применяешь вторую теорему Бэра о том, что если последовательность непрерывных функций на полном метрическом пространстве сходится поточечно к некоторой конечной функции, то у этой предельной функции есть хотя бы одна точка непрерывности (на самом деле таких точек будет целое остаточное множество, которое для полных метрических пространств непусто - в этом утверждение первой теоремы Бэра). Остаточное множество - дополнение к множеству первой категории, которое определяется как не более чем счетное объединение нигде не плотных множеств. Все эти определения можно прочитать в Колмогорове-Фомине "Элементы ТФФА", там же можно прочитать первую теорему Бэра. Где прочитать вторую теорему Бэра, не помню. Может кто подскажет?

stm5693763

спасибочки интересное рассуждение

stm5693763

от противного у меня не получилось .
может у вас получится?

Karas_from_Hell

что-то у меня тоже не вышло
(хотя входило много раз)
имхо йадодостойная идея

stm5693763

кадр ты
попробуй может сейчас войдет

shpanenoc

Может, я торможу, но
f(x,y) = D(x где D(x) - ф-я Дирихле, разве не контрпример?
По y непрерывна при любом X, но разрывна в каждой точке...
Edit: Или должна быть и по x, и по y непрерывна?

stm5693763

да сразу по двум переменным непр.

mtk79

я прикинул схему (это было еще до сообщения ) : она как раз упиралась в возможность существования натурального N - числа шагов по каждой координате для "пошагового" (т.е. как раз написанной сетки - только без интерполирующей функции на ней) приближения от "нужной точки"(где доказываем непрерывность) до "точки противоречия" (в попытке док-ва от противного). Поскольку знание теорем и умение их применить в нужный момент - это хорошо - то лучше всего "довериться" схеме или модифицировать ее для более прозрачного док-ва (возможно, взять идею док-ва этой 2-й теоремы Бера)

sashachist

|f(Xn,Yn)-f(Xo,Yo)| = |f(Xn,Yn)-f(Xo,Yn)+f(Xo,Yn)-f(Xo,Yo)| <= |f(Xn,Yn)-f(Xo,Yn)|+|f(Xo,Yn)-f(Xo,Yo)| <= e/2+e/2=e

mtk79

нет, я помню, что задача не столь халявна, как 1 строчка
Правда, автор странички не сообщил(а "прокатило" ли то решение (или идея решения что предложил(а) АВС47
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: