УРЧП/МКЭ: Граничные условия: не Неймана и не Дирихле

kachokslava

суть задачи в двух словах следующая:
решается уравнение Lu=P на области (квадрат 1х1 с краевым условием u|Г=0 (Г- периметр квадрата).
Дополнительно нужно решить задачу с "условием периодичности" - то же уравнение Lu=P, но краевое условие такое: u|Г1=u|Г3 и u|Г2=u|Г4 (Г1, Г2, Г3, Г4 - соответствующие стороны квадрата).

(с тем, чтобы сравнить два полученных решения и сделать некоторые научные выводы)
с первым случаем всё просто - конструирование функционала для минимизации и соответствующей системы линейных уравнений описано в десятках книг.
Непонятно, что делать во втором случае. Подскажите, где искать.

lenmas

Решай методом Фурье

Nat21

Решал и с краевыми условиями первого типа и с периодическими, разницы не вижу никакой.
Два замечания:
1) В областях типа прямоугольник всегда нужно использовать сеточные методы при известной гладкости решения, несмотря на то что МКЭ – это круто.
2) Уравнения в МКЭ не обязательно получать минимизацией функционала (при эллиптичном L а домножаем уравнение на базисные функции и интегрируем по области (метод Галеркина при этом используется теорема интегрирования по частям, где периодические краевые условия срабатывают также хорошо, как и нулевые условия – интегралы по границе области уничтожаются!
3) Метод Фурье работает и в периодическом случае, если известен спектр оператора L с периодическими условиями.
При способе 2 дискретные уравнения получатся скорее точно такими, как и при минимизации функционала.

kachokslava

сеточные методы не очень хороши в виду наличия включений и дырок в прямоугольной области довольно сложной геометрии
про Галёркина - видел, но пролистал. поботаю, спасибо.

svetik5623190

сеточные методы не очень хороши в виду наличия включений и дырок в прямоугольной области довольно сложной геометрии
сетку можно брать кривую правда, тогда вычислительные формулы будут сложнее. Или сделать замену координат (это не то же самое, что криволинейная сетка).
Или разбить область на несколько мелких областей более простой геометрии.

Nat21

Тогда МКЭ, Галеркин. Минимизацию используют для легкого обоснования существования решения, ее не обязательно использовать в численных методах.
Может сложность вызывает то, что, например, некоторые базисные функции будут иметь часть носителя на верхней границе, часть – на нижней? Так это обычная ситуация. Для лучшего представления можно склеить область по границам, получить тор и на нем построить конечные элементы.

kachokslava

заторить - это мысль, однако, возможно, тут надо будет кое-что в мешере править

Nat21

Да, сетка здесь произвольная не пойдет, нужно чтоб узлы на противоположных границах были зеркальным отражением друг друга относительно осей симметрии
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: