Школьный курс тригонометрические функции

soldatiki

ИМХО, все, что по этому поводу происходит в большинстве школ на уроках алгебры — полная лажа. И требовать на экзамене каких-либо доказательств по этим вопросам, следовательно, нельзя.
Кто знает, может, есть способ сторого определить тригонометрические функции в школьной алгебре?
[comment] Стандартный недочет школьного определения через единичную окружность — отождествление объектов геометрии Евклида (точки и прямые) с объектами из арифметического пространства R^2. В частности: непонятно, как определить угол между единичным "радиус-вектором" и осью абсцисс (стандартное определение для R^2 — это через арккосинус и скалярное произведение). Использовать для определения угла длину дуги окружности — тоже нехорошо, ибо понятие длины опять-таки берется из евклидовой геометрии. [/comment]

zuzaka

ээ..
я не мехмат, поэтому, наверно, что-то не догоняю.
На физфаке и ВМиК тригонометрические функции вводили ровно так же, как и в моей школе. Но наверно, на мехмате тригонометрия более возвышенная.

griz_a

По-моему, много где используется это отождествление. В методе координат, например.

ARTi

наверно, на мехмате тригонометрия более возвышенная.
ее там не было, все считается известным из школы

8686087

Вроде как тригонометрические функции вводятся сначала в геометрии - для углов от 0 до 90 градусов, затем распространяются на произвольные аргументы. А что тут нестрогого? Если мы считаем, что понятие длин дуги окружности и отрезка известны - все вроде бы вполне научно.
Конечно, при желании можно придраться и к тому, что аксиоматика вещественного числа в школе не вводится...

griz_a

Определи синус как отношение катета к гипотенузе, продли его для остальных углов и доказывай геометрически и продленно.

mtk79

Во всех школах вводится как "катет и гипотенуза". при этом, например, "доказательство" теоремы Пифагора в учебнике Погорелова (не знаю, какие учебники сейчас) - действительно лажа, т.к. содержит в себе порочный круг.
Что до определения через ряд - так не то, что в школах - а во многих вузах не проходят ряды вообще, и равномерно сходящиеся - в частности.

zuzaka

да, действительно, в Погорелове были косяки с Пифагором. А в Атенасяне-Бутузове не было.

soldatiki

Определи синус как отношение катета к гипотенузе
В евклидовой геометрии нет проблем с синусом и косинусом.
Но вот как определить вещественную функцию вещественного аргумента sin?
Если мы начинаем строить треугольники в R^2, то мы тем самым отождествляем координатную плоскость с евклидовой. То есть неявно предполагаем, что для R^2 выполнены все аксимы евклидовой планеметрии. Верность этих аксиом — само по себе дело очевидное. То, что нужно четко оговаривать — так это само соответствие: евклидовы точки — это пары чисел, евклидовы прямые — это прямые в R^2 в смысле векторного пространства. Потому что, вообще говоря, можно считать прямыми, скажем, геодезические метрики Лобачевского или еще что-нибудь более экзотическое. Тогда отношение катетов и гипотенуз будут задавать, возможно, другие функции, отличные от обычных тригонометрических.
Однако, мало какой школьнег обратит внимание на подмену понятий: точки и прямые в геометрии и они же в пространстве R^2...

zuzaka

вроде, школьники работают в R², я ошибаюсь?
> То, что нужно четко оговаривать — так это само соответствие: евклидовы точки — это пары чисел
это и так четко оговаривалось

soldatiki

это и так четко оговаривалось
отнюдь не везде. Вам, видимо, больше повезло , чем аффтару треда

mcfly67

> То, что нужно четко оговаривать — так это само соответствие: евклидовы точки — это пары чисел
это и так четко оговаривалось
+1
вроде достаточно стандартно, и везде так делается...

lena1978

видимо надо на веру принять, что существует изоморфизм этих объектов.

lena1978

а даже если и просто сказать, что значение снинуса - это отношение катета к гипотенузе, то с доказательством какого утверждения возникают проблемы?

Alexx13

"доказательство" теоремы Пифагора в учебнике Погорелова (не знаю, какие учебники сейчас) - действительно лажа, т.к. содержит в себе порочный круг
где порочный круг? - вначале доказывается теорема о пропорциональности отрезков в прямоуг. треугольнике ("косинус угла зависит только от градусной меры угла"); следствие -теорема Пифагора


zuzaka

насколько я помню, трабла была в том, что какое-то из примитивных свойств углов доказывалось из еще не доказанной теоремы Пифагора, а потом это свойство опосредованно использовалось при выводе.

Alexx13

\\ Как в школе вводятся тригонометрические функции?
я бы определил так:
Теорема 1. Для любого действительного числа x существует единственное целое число n и существует единственное действительное число \alfa из полуинтервала от 0 до 2*pi, включая 0 такие, что x=\alfa + 2*pi* n
Доказательство: ...
Опр.: cos x = cos \alfa, sin x = sin \alfa, tg x = sin x/cos x;
sin \alfa и cos \alfa определяются на единичной окружности при помощи радианной меры угла стандартно; причём радианную меру можно определить как \alfa = pi*(\alfa) градусов/180 градусов; т.о., измерение длин дуг обошли; вся строгость сведена теперь к аксиомам планиметрии, изложенным в учебнике; а они достаточно строги: Погорелов повторяет в ослабленном но непротиворечивом, конечно, виде аксиоматику Гильберта (некоторые аксиомы у Погорелова зависимы, но это не страшно); нужно отметить, также, что ранее введённые определения - через прямоуг. треугольник - на области своего действия эквивалентны вновь введённым; теорема Пифагора обуславливает корректность, и что вместо единичной окр-ти можно рассматривать окр-ть произволного радиуса по причине подобия
конечно, используются без доказательства кое-какие факты из анализа; например, существование целой части действительного числа x (при доказательстве теоремы);
тригонометрические функции можно определить так:
sin:|R->|R, x->sin x;
cos:|R->|R, x->cos x;
tg:|R->|R, x->tg x (здесь |R - область отправления, а не определения, и она же область прибытия, а не область значений функции; впрочем, для tg |R есть также область значений, а для sin и cos - область определения)

Alexx13

эх, надо бы вспомнить;
ведь погореловский курс имхо не содержит порочных кругов, достаточно строгий, не смотря на то, что школьный; в некоторых курсах теорему Пифагора доказывают через площади (но тогда что такое площадь? - и в ответе на этот вопрос неявно исп. теорема Пифагора; да и сам вопрос непростой либо её доказывают через подобие (и опять неявно используется теорема Пифагора); пока я не видел, как можно без порочных кругов доказать теорему Пифагора иначе, чем у Погорелова

zuzaka

> в некоторых курсах теорему Пифагора доказывают через площади
площадь квадрата и прямоугольника дается по определению (в принципе, надо еще доказать, что определение площади квадрата не противоречит определению площади прямоугольника. Это было сделано в школьном учебнике Киселева по стереометрии, но Атенасян-Бутузов упустили такую тонкость).
Также требуются свойства площади:
а) площадь фигуры равна сумме площадей составных частей;
б) площади равных фигур равны.
Киселев выводил формулу для объема прямоугольного параллелепипеда на основе лишь свойств а) и б) для объемов и формулы объема куба. Естественно, при этом использовались свойства действительных чисел.
В других школьных учебниках я такого не встречал.
А дальше все просто, теорема Пифагора может (с моей нематематической точки зрения) быть строго доказана из теорем равенства треугольников, определения прямого угла и простейших алгебраичех соображений.

Alexx13

> в принципе, надо еще доказать, что определение площади квадрата не противоречит определению площади прямоугольника. Это было сделано в школьном учебнике Киселева по стереометрии, но Атенасян-Бутузов упустили такую тонкость).
надо в принципе ещё доказывать, что такая функция существует и единственна;
например, это показано у Погорелова (правда, в учебнике для пединститутов, не для школы);
определение площади такое же как у тебя
1

2

3

4

5

6

Alexx13


8

9

Alexx13

ну и нетрудно видеть что в этом доказательстве теорема Пифагора используется

Alexx13

нормально проще про площади поговорить в школе вряд ли возможно; т.о. лучше погореловского доказательства теоремы пифагора пока не видно

soldatiki

а даже если и просто сказать, что значение снинуса - это отношение катета к гипотенузе
А проблема в том, косинусом от чего будет проекция точки на ось абсцисс? Косинусом угла? Какого угла? Как определить угол в R^2 без понятия "арккосинус" и "скалярное произведение"? И как по заданному наперед числу x построить угол, чтобы взять косинус?

zuzaka

неа
тут слишком сложный, ненужный наворот. Для доказательства теоремы Пифагора методом разрезаний/склеек и т.п. вовсе не нужно доказывать существования площади фигуры. Достаточно доказать существование площади прямоугольника. А для этого теорема Пифагора не нужна. Да, точно так же строятся последовательности вложенных прямоугольников (а не фигур сверху и снизу сходящиеся к данному прямоугольнику.

lena1978

понятно.
короче, надо говорить об изоморфизме прямой и множества действительных чисел. это интуитивно понятный факт и должен приниматься школьником на веру. тем более, что вроде в школе вводится не полная система аксиом (по-моему аксиомы непрерывности, в которых содержится вся нетривиальность доказательства изоморфности и не проходятся). и брать угол в плоскости точек, а не пар чисел.

soldatiki

брать угол в плоскости точек, а не пар чисел
вот именно в этом и лажа. Так как не ясно, как именно его "брать" в терминах сложения, умножения, принадлежности точки множеству, проекции и даже предельного перехода.
Во-вторых: этот самый изоморфизм НЕ ЕДИНСТВЕННЫЙ. Можно по-разному определить угол, причем так, что угол между координатнными осями по-прежнему будет пи пополам. Как уже говорилось, можно брать разные кривые в качестве прямых.
Я не против того, чтобы изоморфизм устанавливался "на глазок" (хотя это ставит в плохую ситуацию детей с ослабленным зрением только тогда ни о какой математике не может быть и речи, ибо это все равно,что решать уравнения (в вещественных числах) с помощью измерения линейкой. И уж тем более нельзя снижать оценку на экзамене по математике, если человек нарушит в R^2 аксиому р паралельных, ибо она зависит от выбора того самого изоморфизма. Или если он неверно решит тригонометрическое уравнение, ибо это ошибка того же порядка. Да и вообще, тогда на экзамене можно говорить любую непротиворечивую чушь про синусы и косинусы...

zuzaka

> И уж тем более нельзя снижать оценку на экзамене по математике, если человек нарушит в R^2 аксиому р паралельных, ибо она зависит от выбора того самого изоморфизма.
тут должна выполняться презумпция достаточности школьной программы. Если школьник хочет работать в евклидовой геометрии - пусть работает. А если ему приспичило перейти, скажем, в геометрию на сфере - то уж изволь, раз выпендриваешься, доказать, что твои синусы действительно имеют какой-то смысл и какие-то свойства.
Ты ведь понимаешь, что школа не осилит программы, где в 7м классе вместо теоремы Пифагора в детей будут вбивать 20 с лишним аксиом геометрии. А перед этим, кстати, два десятка аксиом действительных чисел, и еще и продемонстрировать на десятке наглядных примеров, что числа типа 1, 2, 3 и т.д. - это тоже действительные числа. Тут возникает сложность, что аксиомы Пеано в корне порочны - в том смысле, что натуральные числа это не те, которые удовлетворяют аксиомам, а те, которые используются при счете яблок, и это правильно.
А теперь попробуй впихнуть в ученика одновременно нормальный и аксиоматический взгляд на числа. Мне это в 10м классе сделали, и то было не слишком просто врубиться. Может сложиться неверное мнение, будто числа - это математическая абстракция: какие хочу аксиомы, такие и ввожу. Что получается, если детей учат делению не на яблоках, а на калькуляторе/в_столбик, можно прочитать в статье "Пятое правило арифметики".
Очевидно, что средний ребенок не одолеет подобную программу к окончанию школы. Тогда он останется без знания, что такое синус. Бухгалтеру синус, конечно, не нужен. А вот электромонтеру или радиотехнику - очень даже. Хотя бы на уровне "набрать на калькуляторе" и "нарисовать от руки". Нельзя их лишать возможности это знать, даже если придется пожертвовать строгостью.
Тем более, что "математическая строгость - вопрос моды", как говорил кто-то из математиков. Где-то слышал, что была в 20м веке понтовая математическая школа, чьи адепты не признавали доказательство от противного. Ну и что? Мало ли, у кого какие заморочки. В природе мы имеем дело с евклидовым пространством, пока не лезем на глобус или в дебри науки. Ну и пусть изучают природу, раз уж нельзя удовлетворить строгих математиков.

Alexx13

нет, дарагой
соль в том, что в учебнике (и киселёва, видимо, тоже "исходя из существования площади и опираясь на её свойства строго выводятся формулы для площадей простых фигур: прямоугольника, параллелограмма, треугольника и др." (цит - см. фото 1) - этот вывод действительно прост (о чём ты и пишешь ); не доказано только существование и единственность площади (докажи плз. хотя бы для простых фигур, т.е. составленных из конечного числа треугольников - ведь это надо для теоремы Пифагора ведь неочевидно (хотя интуитивно очевидно); поэтому, наворотов в запощенных фото нет: они не подменяют школьное простое изложение, а устраняют в нём пробел (что сложнее, потому и нет в школе)

Alexx13

а так конечно ... методом разрезаний и склеек, опираясь на свойства площади
всё с пол-пинка (если существование и единственность уже доказаны; а вот тут нужна теорема Пифагора!)

Alexx13

вероятно, ты имеешь ввиду следующее доказательство:

площади белых областей слева и справа, очевидно, равны -> a^2+b^2=c^2, ч.т.д.

zuzaka

элементарно
площадь квадрата вводится по определению
площадь прямоугольника доказывается равно произведению его сторон.
делается это так. Если стороны соизмеримы, то мы можем разбить его на целое число квадратов. Если несоизмеримы, то мы берем прямоугольники с соизмеримыми сторонами: один содержащий, а другой содержащийся. Чтобы не париться, в десятичной записи чисел будем каждый раз приближаться на один знак вправо.
Что отсюда следует?
a_n * b_n < α * β < A_n * B_n
При этом из математического анализа нам известно (и теорема Пифагора здесь не привлекалась что a_n*b_n и A_n*B_n сходятся к одному и тому же числу. Оно существует и единственно. Его и следует назвать площадью. Оно удовлетворяет требованиям "часть меньше целого" по построению. Оно равно α*β по теореме о ментах. Для любых разбиений этого прямоугольника на прямоугольники легко показать, что требование "суммарная площадь равна сумме площадей частей" выполняется. Вот и все.

zuzaka

кстати, учебник Киселева, хоть и был написан для школьников, но в школьную программу не входит, т.к. писался до революции

Alexx13

это школьное доказательство, что S=ab; оно в Погорелове есть; за исключением этого:
\\ Для любых разбиений этого прямоугольника на прямоугольники легко показать
1) точнее, на квадраты; оч. слабое место; покажи
но 1) недостаточно:
2) надо ещё площадь треугольника; то есть, надо рассмотреть фигуры, составленные из прямоугольных треугольников и показать, что для них площадь существует (определить функцию - площадь - проверить четыре свойства из фото №1) и единственна;
ведь (см. рис.) мы этим пользуемся при доказательстве теоремы Пифагора!
если бы существование и единственность площади для простых фигур (то есть, составленных из треугольников) была доказана, то в твоём рассуждении не требовалось бы показывать 1) и 2 была бы немедленно установлена площадь треугольника (методом разрезаний и склеек и доказана теорема Пифагора (исходя из свойств площади) как на рис. выше; собстенно, запощенные фото этим и занимаются (доказывают существование и единственность площади простых фигур) в несколько более общем случае: треугольники берутся не обязательно прямоугольные

vit-makovey

Вот вы флудеры. Да нет в школе задачи ввести максимально строгие определения и доказательства.
НЕТ И слава Богу.

nozanin

Прочитал сейчас тред, соглашусь с теми, кто считает, что строгости (особенно про изоморфизм заценил ) нафиг не надо в школе.
Нужно кругозор развивать — через треугольники, через окружность. А формально вводить ряд — вы уверены что хотя бы в 50% школ найдётся учитель, способный это повторить? Я — нет. А если учитель сильный, то он и без учебника по-разному расскажет.
Я когда-то, когда учился на 1 курсе тоже парился, но на тему скалярного произведения. Типа метрика, туда-сюда, и как это всё круто, что оно такое разное может быть, а в школе мы про него мало что знали. А потом вспомнил, что косинус суммы через скалярку выводится — ваще крышу сорвало...
На то он и универ, чтобы крышу срывать, даже не ботанам есть что вспомнить.

Mmose65

Тогда и в R1 тоже же существует такая проблема. Длину отрезка тоже надо как-то вводить? И как было отмечно, вещественные числа вводятся нестрого, а ты хочешь определить функцию на этом множестве. Непонятно немножко, что требуется. Несмотря на это подкину две идеи . Просьба ссаными тряпками не кидать. Ну что-то типа sin x = Im(e^ix но в школе комплексные не проходят или sin (x) := f(x т.ч. f''(x)=-f(x f(0)=0, f'(0)=1. Понятно, что диффуры в школе тоже не проходят. Все равно и там и там, как я понимаю, используют топологические свойства прямой.

asseevdm

Я правильно понял, что все, что вам нужно для счастья, ввести метод координат на плоскости?
На самом деле отображение из точек на плоскости в координаты строгое, поскольку есть аксиома измерения отрезков: у отрезка есть длина (суть жорданова мера). В другую сторону вопрос можно поставить так: почему для заданного x>0 существует отрезок заданной длины? Все рациональные отрезки из единичного получаются очевидным образом. Иррациональные отрезки можно получить предельным переходом из рациональных и принципом вложенных отрезков Кантора. После этого можно ввести координаты на прямой, а потом и координаты в пространстве. Где теперь нестрогость?
Да, в школе не проходят принцип Кантора, считая это очевидным. Построить другую тригонометрию, не нарушив аксиом геометрии и _очевидных_ свойств R не получится. Поэтому школьники обязаны знать именно ее.

soldatiki

натуральные числа это не те, которые удовлетворяют аксиомам, а те, которые используются при счете яблок
+1 - для школы
Но с синусом ситуация более тонкая, ибо, как уже сказал, требуется ввести геометрю Евклида в арифметическое двумерное пространство. Пока все, что делается, это говорится фраза: " x = sin(t) в точности тогда, когда луч, выпущенный из начала координат под углом t, пересекает единичную окружность в точке с абсциссой x". Но чтобы рассуждать в терминах лучей, окружностей и — особенно — углов, нужно ввести геометрию в пространстве пар чисел (x,y где мы чертим все графики.
Определить лучи, окружности и прямые можно чисто аналитически (причем, даже в школе, ибо это будут алгебраические уравнения). А вот можно ли определить корректно УГОЛ? Именно об этом мой вопрос. Ибо на данном этапе школьного преподавания каждому лучу, выпущенному из начала координат, угол сопоставляют с помощью... транспортира или линейки (определение через длину дуги ед. окружности). Но как, зная координаты точки (x,y) на окружности, приписать этой точке угол? ГДЕ ФОРМУЛА? МОЖНО ЛИ ВООБЩЕ ТАКОЙ ПОДХОД ХОТЬ КАК-НИБУДЬ СТРОГО ОБОСНОВАТЬ? Или единственная возможность — брать угол пропорциональным стандартной длине длины окружности? (т. е. — вдумайтесь — поверхностной мере Лебега! Хотим мы говорить эти слова или нет, но фактически мы обращаемся к этому объекту.)

Zoltan

угол в школе вполне корректно определён. в элементарной геометрии угол производное понятие, а длина дуги окружности - первичное. синус вводится, как обратная функция к арксинусу.

soldatiki

синус вводится, как обратная функция к арксинусу
а можно с этого места по подробнее. Что-то подобное, кажется, слышал. Там, вроде, как-то используется монотонность...

Mmose65

Что-то я все-таки тебя не пойму, ты хочешь ввести угол без введения длины? Это невозможно. И даже больше, нужно скалярное произведение. Есть скалярное произведение - есть угол, нету - нету угла.

Mmose65

А то что окружность имеет длину сможешь доказать, не используя понятия угол?

Zoltan

достаточно взять параметризацию окружности без синусов и косинусов.

Mmose65

Не понял. Приведи пример плиз.

sergeychik_a



я не мехмат, поэтому, наверно, что-то не догоняю.
На физфаке и ВМиК тригонометрические функции вводили ровно так же, как и в моей школе. Но наверно, на мехмате тригонометрия более возвышенная
на мехмате косинус это сумма по эн от нуля до бескончности слагаемых вида (-1)^n*z^(2n)/(2n)!, а то что ето равно отношению прилежащего катета к гипотенузе - так это просто случайное совпадение. Мир Вам!

Zoltan

параметризуем окружность как (x, sqrt(1-x^2) ) и получаем её длину:
оную длину будем также называть арккосинусом и углом

soldatiki

Вот. То, что надо!

Mmose65

Ага. Надо тока понять нет ли заковырки в уравнении окружности. x^2+y^2=R^2.
Есть. Используем наличие скалярного произведения. С ним мы и так знаем что такое косинус.

Zoltan

>Используем наличие скалярного произведения
ничего подобного, скалярное произведение там не нужно

Mmose65

Там нужна формула для вычисления длины радиус-вектора. Откуда ты ее берешь? Из т. Пифагора? Как ты ее доказываешь?

Zoltan

вы про Пифагора ещё не нафлудились? оба доказательства из школьных учебников дополняются до вполне строгого вида, было бы время да желание. так что, можно смело использовать доказательство через площади.
ещё немного флуда о Пифагоре

Mmose65

Про площади - там есть слабое место. Площадь - функция тра-ля-ля, на конгруэтных фигурах дают одинаковые значения. Что такое конгруэнтные фигуры? Существуют движение, переводящие одно в другое?
Про то что в ссылке. Подобные треугольники ЛОЛ. Это те у которых углы одинаковы? Нельзя слово угол использовать.

Alexx13

 
вы про Пифагора ещё не нафлудились? оба доказательства из школьных учебников дополняются до вполне строгого вида, было бы время да желание. так что, можно смело использовать доказательство через площади.
  

Ну если развить теорию меры и интеграла надлежащим образом... Да и то не очевидно. Ведь при введении прямоугольных координат и каких-то простейших фактов в них избежать теоремы Пифагора проблематично как-то: слишком уж она в основе многого. Имхо для школы самое правильное доказывать на основе теоремы о пропорциональности отрезков (теорема о пропорциональности отрезков есть в билетах устного экзамена на мм, кстати;
видимо, не с проста ).

Alexx13

А вот можно ли определить корректно УГОЛ? Именно об этом мой вопрос. Ибо на данном этапе школьного преподавания каждому лучу, выпущенному из начала координат, угол сопоставляют с помощью... транспортира или линейки
Имеется т.н. декартова реализация евклидовой геометрии; в ней всё сведено к числам, интегралам, в общем, к анализу. Мог бы запостить, но это 15 стр. текста (и соответственно ок. 30 фото - по 2 фото на стр.). Но ведь можно пользоваться не этой реализацией, а школьной аксиоматикой (вполне строгой, по кр. мере в изложении Погорелова) и некоторыми интуитивными представлениями (транспортир, линейка как раз которые помогают проводить доказательства, но не заменяют их. Вопросы непротиворечивости, независимости, полноты, категоричности аксиоматики в школе не рассматриваются. Ученикам здесь можно только поверить учителю, что всё ок, и если захотят, то познакомятся с этими вопросами позже.

Zoltan

из ссылки надо было не лол извлечь, а фамилию автора, байку про Ньютона и вот эту часть про доказательство через площади:
Здесь опять-таки возникают неприятности с криволинейными фигурами, но для многоугольника, разбиваемого на многоугольники же, все обстоит довольно просто. В начале века существовали учебники (повышенной сложности в которых все это делалось аккуратно. Ничего особенно сложного здесь нет, но требуется время, которого в общеобразовательной школе хватить на это не может

Mmose65

С криволинейными я готов на веру принять. Дело не в этом. Дело в том, что два "одинаковых" квадрата должны иметь одинаковую площадь. Что значит "одинаковых"? Совпадающих при наложении? Что значит наложить? Там движения возникнут. Уверен, что без скалярных произведений и углов там разберемся?
Обрати внимание, также на эти слова.
Надо также знать, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Почему мы уверены, что это так? Интуитивная уверенность, по-моему, имеет отношение не столько к геометрии, сколько к физике. Мы представляем себе фигуру сделанной из какого-то однородного материала, тогда ее площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества --- ее массе. Далее подразумевается, что когда мы разделяем тело на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что все состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса. Но подумайте, на какое количество экспериментальных физических фактов опирается это наше рассуждение. И ведь это отнюдь не геометрия.

ПС. Почему евклидовые пространства называются - евклидовыми?

Zoltan

поскольку на первое время(пока теорему Пифагора не докажем и угол не введём) будет достаточно квадратов и прямоугольников со сторонами направленными параллельно осям координат, то без скалярных произведений и углов вполне обойдёмся.

Mmose65

На чертеж в треде посмотри, док-во т. Пифагора. Два квадрта, не с паралелльными сторонами. Еще варитны доказательства есть? Можем вообще про длины начать разговаривать. Что значит "одинаковые" отрезки? Без движений обойдемся?

Zoltan

На чертеж в треде посмотри, док-во т. Пифагора. Два квадрта, не с паралелльными сторонами. Еще варитны доказательства есть?
я где-то обещал всю эту тягомотину, которую даже авторы школьных учебников выкинули, доводить до конца? да ещё и основываясь на чертеже из треда? док-в теоремы Пифагора существенно больше чем 2.
Можем вообще про длины начать разговаривать. Что значит "одинаковые" отрезки? Без движений обойдемся?

по-моему, тут уже пора про аксиоматику разговаривать. либо у тебя движения постулируются как основное понятие, либо уж длины. и оба подхода имеют право на существование.

Mmose65

Нет. Я не к этому. Площадь - вторична от длины. Поэтому, чтобы упростит спор, решил разговаривать не про площади, а про длины.
Предположим сразу, что длина на прямой введена и все там нормально. Теперь переходим на плоскость. Хотим перенести понятие длины. В чем сразу проблема, что на каждой из множеств прямой можно ввести свою длину. также можно ввести и длину другую например max( |x|, |y|). Нам же (для евклидовой геометрии) нужна хорошая длина, которая выдерживает движения. Насколько я понимаю, получается, что должно сущестовавть скалярное произведение.
2. На ПС про евклидовы пространства ты так внимания и не обратил. Это там где выполняется евклидова геометрия. Значит скалярное прозведение важно!
3. Я не силен в терминалогии. Смотри, ты ввел понятие угла, используя только из понятия длины (нормы, метрики) и предельного перехода практически для любого пространства. Введем тогда сразу и скалярное произведение. Как (a,b) = |a||b|*cos(a^b). Норма введена. Косинус ты нам ввел. Не кажется ли это странным?
ПС. Хотелось бы услышать мнения друих форумчан. Может мы оба не правы .

van_ernst

Есть линейное пространство V над R.На нём определён симметричный билинейный функционал e:VxV->R известный как скалярное произведение. Пространство V с заданным на ним скалярным произведением наз-ся евклидовым пространством. Далее,насколько я помню, уже можно определять метрику через это скалярное произведение =>в евклидовом про-ве уже есть по определению длина и угол,причём и угол и длина определяются скалярным произведением.
Т.е. вроде как достаточно отождествить R^2 и евклидово пространство и всё станет понятно.
Но это если в школе действительно пытаются вводить эти sin и cos через евклидово пр-во.вполне возможно что даже если метрический тензор не единичный то все тригонометрические тождества при аналогичном введении sin cos будут верны, т.е. про-во будет искривлено(прямые перейдут во что угодно.) но это только если смотреть со стороны,а внутренне все законы(всякие неравенства тождества и т.п.) стандартной евклидовой метрики будут справедливы.лень проверять но примерно представляю как проверить

asseevdm

Автор, не вводи геометрию евклида в арифметичное пространство. Вводи арифметичное пространство в Евклидову геометрию. Не надо определять все чисто аналитически, надо говорить, что все имеет координаты (уравнения). В чем тогда проблема?

Mmose65

А евклидова геометрия будет верна? Будут ли исполнятся 5 постулатов?

soldatiki

Автор, не вводи геометрию евклида в арифметичное пространство. Вводи арифметичное пространство в Евклидову геометрию.
Напомню, что наша задача — определить тригонометрические функции в алгебре, а не в геометрии. Поэтому у нас изначально есть именно арифметическое R^2, а не евклидова геометрия.

soldatiki

га. Надо тока понять нет ли заковырки в уравнении окружности. x^2+y^2=R^2.
Есть. Используем наличие скалярного произведения. С ним мы и так знаем что такое косинус.
Как это мы, простите, знаем? И что же такое синус вещественного числа икс в терминах скалярного произведения в R^2?

asseevdm

В таком случае алгебраический синус — это геометрический синус, только не от углов, а от радиан. К тому же в геометрии синус раньше алгебры проходят. Проблема в строгом введении поняния длины окружности?

soldatiki

Давайте не будем углублядься в доказательство теоремы Пифагора в рамках этого треда.
Резюме: тригонометрические функции стоит вводить с помощью обратных тригонометрических, а последние — через параметризацию окружности при помощи квадратного корня и первообразную.
Другие методы: степенной ряд, через экспоненту, как решение задачи коши, как решение краевой задачи — для школы мало пригодны.
Метод через введение геометрии евклида в R^2 и затем сведение к тригонометрическим функциям углов в прямоугольном треугольнике не может быть хоть как-нибудь четко сформулирован (не говоря уж об обосновании) и поэтому также неприемлем.

soldatiki

только не от углов, а от радиан
а какая разница? "Алгебраический" синус — функция не от градусов и не от радиан, а от вещественных чисел. Вот вся проблема как раз в том и есть, как по числу найти тот самый угол, от которого брать "геометрический" синус.

soldatiki

А угол надо строить так. Берем скалярное произведение, делим на нормы векторов и берем от этого арккосинус, который определяется при помощи параметризации окружности функцией sqrt(1 - x^2).

zuzaka

> 1) точнее, на квадраты; оч. слабое место; покажи
не, не слабое и не на квадраты, к сожалению, потому что если я уже претендую на введение площади прямоугольника, значит, разбивать надо тоже на прямоугольники.
Элементарно доказывается. Бесконечные разбиения не рассматриваем (площадь не обязана быть суммой частей бесконечного разбиения а для конечных разбиений порежем прямоугольник отрезками от одной стороны до противоположной так, что каждый из прямоугольников разбиения имеет каждую из сторон на одном из этих отрезков.

zuzaka

насчет необходимости доказательства единственности площади прямоугольного треугольника согласен (доказать существование элементарно)

Mmose65

Там же слабое место говорю. Ты пользуешься геометрическим понятием окружности. Говоришь, что это ГМТ - равноудаленных от точки. Потом говоришь, что уравнение окружности такое. x^2+y^2=R^2. А кто это доказывать будет? Тут нужна как раз Торема Пифагора.

Mmose65

Да понятно, что угол надо строить имеено так. Тем самым, мы используем существование скалярного произведения! Как ты его алгебраически собираешься вводить? Или считается, что оно априори дано? Если оно дано, то косинус угла между векторами тоже дан. Я к тому, что понятие угла нельзя ввести без скалярного произведения. И торема Пифагора как раз "существует" только там, где есть скалярное произведение.

Zoltan

>Ты пользуешься геометрическим понятием окружности. Говоришь, что это ГМТ - равноудаленных от точки
на самом деле это свойство окружности не нужно для определения триг. функций, так что можно просто сказать, что окружность это график уравнения x^2 + y^2 = R^2
примерно так строится элементарная математика у Клейна

Mmose65

Необходимо тогда показывать, что величина угла не зависит от выбора дуги, или что-то типа того. Или доказывать, что это кривая имеет корректную длину.
Если у нас норма введена например |x|+|y|, то x^2+y^2=R^2 будет не "евклидову окружность" описывать.

Zoltan

>Необходимо тогда показывать, что величина угла не зависит от выбора дуги, или что-то типа того
см. начала анализа.
>Или доказывать, что это кривая имеет корректную длину
аналогично. или вариант Клейна, без длин вообще
>Если у нас норма введена например
так. причём тут норма вообще? в какой это момент появилась возможность норму изменить?

soldatiki

я не использую геометрического понятия окружности.
1) ввожу, если надо, "скалярное произведение" и индуцированную им "норму" как корень квадратный из суммы квадратов. Говорю, что такое "окружность" с помощью явного уравнения.
2) определяю "арккосинус" и через него угол t, соответствующий точке на окружности, определяю обратное отображение "угол -> точка на окружности"
3) полагаю cos(t) = проекция_на_OX(точка на окружности с углом t)
4) если надо, говорю, что выполнены аксиомы евклидовой геометрии, что, в частности, угол и норма удовлют нужным аксиомам, что так построенный алгебраический косинус совпадает с геометрическим, возникающим из нужного прямоугольного треугольника в R^2.

Mmose65

Клена сейчас почитать не могу, джвю нет.
Хорошо, давай сначала. Я правильно понимаю, что ты хочешь ввести понятиу угла, только с помощью понятия длины. Считаем, что длина на прямой уже корректна введена. Теперь переходим на плоскость. Хотим перенести длину с прямой на всю плоскость. Причем перенести корректно. Как ты это сделаешь? Ты можешь на каждой прямой в плоскости ввести свою длину, тебе никто не мешает, ведь так? Ты же пользуешься, что длина по всем прямым одинакова. Это необходимо и для вычисленя дуг, и длин кривых. Так что по кругу ходишь.
>так. причём тут норма вообще? в какой это момент появилась возможность норму изменить?
Ты вводишь углы через длины, тогда угол можно в любой норме ввести? По аналогии твоим способом.

Mmose65

Почему сразу не написать, что cos (a,b) = (a,b)/|a||b| ?. Где (a,b) - скалярное произведение.
Кстати, как ты вводишь скалярное произведение?

Zoltan

>Хотим перенести длину с прямой на всю плоскость
нет, не хотим. хотим считать площади под графиками
>Ты вводишь углы через длины, тогда угол можно в любой норме ввести? По аналогии твоим способом
через длины на двух перпендикулярных прямых
в моём способе негде менять норму, её в нем нет

soldatiki

(a,b) = a1 b1 + a2 b2
Почему сразу не написать, что cos (a,b) = (a,b)/|a||b|

потому что тогда мы получим косинус пары векторов (= пары точек то есть, "геометрический" косинус. а нам нужен косинус "алгебраический", зависящий от одного вещественного числа, которое обычно именуется углом.
Вот тут то и вопрос: как от пары точек a и b в R^2 перейти к одному параметру — углу между a и b? И обратно: от одного вещественного числа (угла) перейти к паре точек, одна из которых — единица (на оси ОХ а другая лежит где-то на окружности, то есть, фактически, как по углу восстановить точку на окружности.

Mmose65

Вводи что такое площадь, и не забудь доказать, что площадь выдерживает движения. Матанализ использует наличие скалярного произведения.

Zoltan

>Вводи что такое площадь
площадь под графиком
>и не забудь доказать, что площадь выдерживает движения
площадь под графиком выдерживает один конкретный тип движений - вдоль оси х
>Матанализ использует наличие скалярного произведения
чушь. открой любой учебник матана. и посмотри где там скалярное произведение, а где интегрирование функций. для определённости можешь открыть Зорича

Mmose65

потому что тогда мы получим косинус пары векторов (= пары точек то есть, "геометрический" косинус. а нам нужен косинус "алгебраический", зависящий от одного вещественного числа, которое обычно именуется углом.
Вот тут то и вопрос: как от пары точек a и b в R^2 перейти к одному параметру — углу между a и b? И обратно: от одного вещественного числа (угла) перейти к паре точек, одна из которых — единица (на оси ОХ а другая лежит где-то на окружности, то есть, фактически, как по углу восстановить точку на окружности
Надо доказывать, что твое определение угла не зависит от выбора системы координат.

Mmose65

>в моём способе негде менять норму, её в нем нет
а интегрируешь ты как?

Mmose65

>>Матанализ использует наличие скалярного произведения
>чушь. открой любой учебник матана. и посмотри где там скалярное произведение, а где интегрирование функций. для определённости можешь открыть Зорича
Матанализ использует двумерную евклидову плоскость. Двумерное вектроное пространство со скалярным произведением.

Zoltan

см. учебник по матану

Zoltan

 
Матанализ использует двумерную евклидову плоскость. Двумерное вектроное пространство со скалярным произведением

в каком месте матанализу необходимо скалярное произведение? пальцем ткни
всё, что нужно для интегрирования строится в двумерном арифметическом пространстве

Mmose65

Смотри учебник по дифгему .
На многие мои вопросы, ты ушел от ответа. Жаль, что так кончается, думал более увлекательная будет дискуссия.
Про площадь под графиком - необходимо доказывать, что площадь не зависит от выбора системы координат.

Zoltan

>дифгему
ЛОЛ. специально же написано - ИНТЕГРИРОВАНИЕ. где тебе в ИНТЕГРИРОВАНИИ нужно скалярное произведение? правильно - нигде. подробно, с нуля, со всеми мелочами это проделано у Клейна, ссылку я дал.
>На многие мои вопросы, ты ушел от ответа
на все относящиееся к делу я ответил
>Про площадь под графиком - необходимо доказывать, что площадь не зависит от выбора системы координат
и ещё раз - только от сдвигов по оси х

Mmose65

Сказал же не могу прочитать пока. Прочитаю, скажу свои мыли по этому поводу.
Относительно других движений, из чего следует, что площадь введена корректна. Если мы введем другие координаты, наклоненные, как ты будешь доказывыать, что площадь у твоих фигур такая же? Не понимаю, почему только от сдвигов по оси Х?. Что от этих сдвигов площадь не зависит - это понятно.

Zoltan

в арифметическом пространстве (точка, значение-в-точке) нет никаких "других" замен координат.

soldatiki

Надо доказывать, что твое определение угла не зависит от выбора системы координат
зачем это надо? каких таких координат?
речь идет о КООРДИНАТНОМ пространстве R^2, а не абстрактном двумерном пространстве, где надо еще выбирать базис.

van_ernst

А евклидова геометрия будет верна? Будут ли исполнятся 5 постулатов?
Не совсем понял.где будет верна?5 постулатов имеется ввиду нер-во треугольника и т.п.?

Mmose65

Попробуй доказать, что угол между двумя точками (радиус-векторами)
{(4,04,3)} и 4,3 (7,24 одинаков. Или тебя вообще не волнует какое определение угла ты ввел?
Геометрически, это два прямоугольных трегольника со сторонами (3,4,5). Катет второго расположен на гипотенузе первого.

Mmose65

Из твоей подхода получается, что понятие угла оперделено только для пар точек (радиус-векторов)вида {(1,0 {x,y}}, где x^2+y^2=1. Для любых двух пар точек (радиус-векторов) у тебя определения нет. Необходимо дополнить твое определение. Сможешь?

soldatiki

понятие угла оперделено только для пар точек (радиус-векторов)вида {(1,0 {x,y}}
ДА хорош тупить!
для пар точек определить — это как раз легко: arccos( (x,y) / |x| |y| где "норма" — корень квадратный из "скалярного произведения", а "арккосинус" строится с помощью интеграла от корня.
Вопрос был в обратном: как сопоставить угловому параметру (вещественному числу) точку на плоскоскости (точнее, на окружности от которой потом можно взять проекцию и сказать, что эта проекция и есть косинус (она же будет "геометрическим" косинусом соответствующего угла в соответствующем треугольнике).

Mmose65

Тогда такой вопрос, какими свойствами обладает ваш введенный угол?
С таким же успехом можно каждому вещественному числу поставить точку на плоскости, удовлетворяющую соотношению x^3+y^3=1. Взять проекцию и назвать косинусом числа. И что дальше?

soldatiki

Конечно можно! Только так полученная функция не представляет интереса для школьной математики и потому не рассматривается. Тот факт, что именно этот косинус связан с естественной геометрией на плоскости — принимается школьниками на веру.
А геометрические свойства для мною введенного угла проверять НЕ НУЖНО, ибо мы в данный момент не ставим себе целью построить геометрию на плоскости, нам нужно только определение sin(x). Вот когда мы захотим показать связь с "геометрическим" синусом, вот тогда и начнется борьба за углы, расстояния и т. д.

zuzaka

Последние несколько десятков постов я не был согласен с Петькой, т.к. у него были какие-то сомнительные, на мой взгляд, математические утверждения. Но т.к. я не математик, лучше об этом говорить не буду.
Зато с последним его утверждением полностью согласен, а с твоим - совершенно не согласен.
Синус, проходящийся в школе, очень важен именно как геометрическая фишка, но почти (или даже вообще) не нужен как математическая функция. Нахрена детям давать знание синуса через ряды (а перед этим, получается, еще дать свойства рядов, а значит, огромный кусок матана если это знание не позволяет даже решить простейшие задачи на закон преломления или на скольжение по клину?

Mmose65

>Конечно можно! Только так полученная функция не представляет интереса для школьной математики и потому не рассматривается.
Такая функция - и для нешкольной математики не очень интересна.
> Тот факт, что именно этот косинус связан с естественной геометрией на плоскости — принимается школьниками на веру.
По-моему, пусть лучше школьники поверят докозательству т. Пифагора. Докозательство "Зри!" еще никто не отменял.
>геометрические свойства для мною введенного угла проверять НЕ НУЖНО, ибо мы в данный момент не ставим себе целью построить геометрию на плоскости, нам нужно только определение sin(x). Вот когда мы захотим показать связь с "геометрическим" синусом, вот тогда и начнется борьба за углы, расстояния и т. д.
Когда производную будешь начинать считать (надеюсь, тебе это будет нужно сразу столкнешься с геометрическими понятием. Чему равен cos(x+delta(x? Замучаешся со своими аркосинусами.
ПС. Для Каифы.
Может я не очень четко говорю. Сейчас будет еще непонятнее. Суть всех моих измышлений такова - длина и угол понятия независимые. Что такое длина? Это мера измерения на прямой. Что такое угол - это мера измерения на окружности. Как окружность связна с прямой? Вот тут и нужно введение скалярного произведения. Оно как раз связывает два этих понятия. Теорема Пифагора в геометрии на сфере или Лобачесвскго по другомы выглядит, потому что там скалярное произведение другое.
Еще такое соображение. Что такое геометрия Евклида. Та которая "выдерживает" определеную группу движений, в том числе и поворот на угол и паралельный перенос, которые разнесены. Не знаю поймет меня кто-нибудь или нет.
ППС. Предоставьте плиз, док-во т. Пифагора в Евклидовой плоскости, без использования понятия угол и понятия конгруэнтные фигуры (сл\овпадающие при наложении). Я понимаю, что их более 500, но все же .

Zoltan

напомню исходный вопрос:
 есть ли способ сторого определить тригонометрические функции в школьной алгебре?
ответ: да, есть. см. выше.
ты упорно пытаешься в завуалированной форме протолкнуть заведомо ложное предложение, что алгебра и геометрия неотделимы, так же как и душа от тела. раз пытаешься - предоставь доказательство, что неотделимы

Mmose65

>напомню исходный вопрос:
есть ли способ сторого определить тригонометрические функции в школьной алгебре?
ответ: да, есть. см. выше.
Докажи, что введено тобой определение "угла" обладет свойствами углов. Или хотя бы ответь, почему ты взял именно параметризацию окружности, а не другой кривой. Например, x^3+y^3=1?
>ты упорно пытаешься в завуалированной форме протолкнуть заведомо ложное предложение, что алгебра и геометрия неотделимы, так же как и душа от тела. раз пытаешься - предоставь доказательство, что неотделимы
Я совсем не это пытаюсь доказать.

Zoltan

>Докажи, что введено тобой определение "угла" обладет свойствами углов
я ввёл функцию, назвал углом, у неё есть свойства. можешь про них всё, что душе угодно, до упаду доказывать.
>Или хотя бы ответь, почему ты взял именно параметризацию окружности, а не другой кривой. Например, x^3+y^3=1?
мне захотелось взять окружность, ты можешь взять этого крокодила. я не против.
>Я совсем не это пытаюсь доказать
именно это.

soldatiki

По-моему, пусть лучше школьники поверят докозательству т. Пифагора. Докозательство "Зри!" еще никто не отменял.
Не отменял. Потому что нет такого доказательства. А если я слепой с рождения, что же мне и математику нельзя изучать? Хрен! Можно, ибо я мыслю.
Еще раз: задача была не доказать свойства тригонометрических функций, а определить само соответствие x -> sin(x). Потом, когда оно задано, можно описать связь с геометрическими объектами и доказать свойства этого отображения. Причем, можно доказать безо всякой геометрии, с помощью, например, формальных рядов. Так что апилляция к евклидовой геометрии отнюдь не обязательна, ее лишь используют в школе за неимением аппарата матанализа. Тригонометрические функции могут жить своей жизнью, ничего не зная про какие бы то ни было геометрические системы!
Если сама функция не построена аналитически, разговор о ее свойствах в рамках алгебры вообще не имеет смысла. Просто не о чем говорить. Вот я и поднял проблему, что в школьной алгебре зачастую тригонометрических функций просто напросто НЕТУ. И на вопрос "какова производная синуса" школьник смело может сказать "производная, простите, чего? о чем Вы говорите? какого такого синуса? нет такого отображения... "

Mmose65

Еще раз: задача была не доказать свойства тригонометрических функций, а определить само соответствие x -> sin(x).
Эта задача решена. Не спорю. Но зачем это делать? Если свойства этой функции нам неизвестны?
Потом, когда оно задано, можно описать связь с геометрическими объектами и доказать свойства этого отображени

Ты уверен, что сможешь это сделать? Не используя геометричского понятия угла? Я уверен, что нет. Именно это, я пытаюсь вам сказать.
Вот я и поднял проблему, что в школьной алгебре зачастую тригонометрических функций просто напросто НЕТУ.

Еще раз повторяю, ну ввел ты эту функцию. А ничего про нее не знаешь. Почему не ввести еще 10 функций, про которые нам ничего не известно? Попробуй посчитать сам производную от введеной тобой функции.
Формальные ряды - это хорошо, но ты сам отверг этот подход.

soldatiki

> Потом, когда оно задано, можно описать связь с геометрическими объектами и доказать свойства этого отображени
Ты уверен, что сможешь это сделать? Не используя геометричского понятия угла? Я уверен, что нет. Именно это, я пытаюсь вам сказать.
ЕЩЕ РАЗ: доказывать свойства функций можно через что угодно, в том числе с помощью геометрических понятий (в частности: угол). Но прежде, чем доказывать, надо ОПРЕДЕЛИТЬ, а точнее — построить. Иначе просто не о чем говорить.
Аналогично в матане когда проходят замену переменных в кратном интеграле. Теорему о якобиане иногда не доказывыают, а проводят вместо этого "эвристический вывод", привлекая в том числе и геометрическую интуицию. Но ПОНЯТИЯ, фигурирующие в теореме, такие как матрица Якоби и определитель, даются строго.
В соответствии с твоим подходом нам следует теперь определить якобиан как "меру растяжения бесконечно малого прямоугольника", ибо так можно проще доказать теорему о замене переменных. Я же предлагаю вводить понятия строго, а утверждения доказывать строго лишь по возможности.
В случае с тригонометрическими функциями придется взять бессодержательное, бесполезное, негеометрическое, ненаглядное и сложное в обращении определение через арк-функции и "аналитический" угол, ибо другого строгого определения, которое бы не содержало более сложных понятий из матана, нет.
После чисто аналитического построения тригоном. функций можно тут же сформулировать без доказательства "принцип соответствия" и дальше все доказывать из геометрических соображений.
Такой путь лучше, ибо мы, допуская неточности, четко указываем то место, где делается "обман". Все же остальные выкладки проводятся строго, но по модулю недоказанного соответствия геометрических и аналитических понятий.
На этом хочу подвести к концу сей длинный и яркий сабж. Всем учаснегам — большое спасибо.

Zoltan

>посчитать производную от введеной функции
производная арккосинуса, введённого через интеграл, считается в одну строчку

svetik5623190

На мой взгляд, изящнее всего "безгеометрически" вводятся синус и косинус у Ильина, Садовничего и Позняка в книге по матану. Там они определяются как решение системы функциональных уравнений и одного функционального неравенства. Доказывается единственность решения и выводятся все свойства.
Плюс в том, что "главные", однозначно определяющие все остальные, свойства сразу виды - они входят в систему уравнений.
Насколько вообще "безгеометрические" подходы нужны и важны - спорить не возьмусь, тонкий очень вопрос. Скорее всего, они полезны, ибо позволяют взглянуть на реальность с новой стороны.

soldatiki

Насколько я помню, уравнения там функцинально-дифференциальные, но в школе рано еще говорить о дифурах.

svetik5623190

уравнения там функцинально-дифференциальные
Ничего подобного! Открой книжку и проверь Уравнения функциональые. Из них выводится непрерывность, потом дифференцируемость, потом находятся производные.
Подход с дифурами - совсем другое дело:
у"=-у
у(0)=0
у'(0)=1
(это - синус. По теореме Пикара он один на свете такой ) )
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: