Пример отображения

gr_nik

Приведите пример отображения, дифференциал Гато (слабый дифференциал) которого не линеен.

soldatiki

Не понял юмора? y=x^3 - дифференциал (во всех смыслах) не линеен по x.

griz_a

Обычный дифференциал - линейное отображение. Ты путаешь дифференциал в точке и функцию производной

z-helenium

 F: RxR --> R, F: (x, y) ׀--> max(|x|, |y|) в точке (0, 0).

gr_nik

Спасибо!

soldatiki

дифференциал Гато (слабый дифференциал) которого не линеен
так, пардон... Дифференциал - это функция двух переменных: точки и приращения. Я привел пример x^3 - функции, что ее дифференциал не линеен по x. По dx он, как и любой дифференциал, всегда линеен по определению и во всех смыслах (Гато, Фреше, Адамар, ... ).

soldatiki

F: RxR --> R, F: (x, y) ׀--> max(|x|, |y|) в точке (0, 0).
в точке 0,0 эта функция, вроде, не дифференцируема ни по одному направлению... какой нафиг дифференциал Гато?

z-helenium

 Пусть X и Y — нормированные пространства, F: X --> Y
Опр. Дифференциалом Гато отображения F в точке x при приращении h называется предел
DF(x, h) = lim(F(x + t·h) – F(x/t при t --> 0
Да, приведённую функцию максимума модуля лучше ещё домножать на знак аргумента, доставляющего этот максимум.

soldatiki

Откуда такое определение? Это определение производной по направлению h. А Дифференциал Гато - это линейный оператор A, что производная по каждому направлению h представляется как Ah (предполагается, что такая производная существует по каждому направлению). Для производной Фреше -то же самое, только предел равномерен по всем направлениям h (зависит только от норма h).

z-helenium

 Определение из Колмогоров_Фомин. Хотя в своей статье "Дифференциал" (для БСЭ) сам Колмогоров даёт скорее твой вариант определения:

Функция f (x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если её приращение Df = f (x + h) - f (x рассматриваемое как функция от h, имеет главную линейную часть L (h т. е. выражается в виде
Df = L (h) + R (h
где остаток R (h) при h ® 0 бесконечно мал по сравнению с h. Главная линейная часть L (h) приращения Df и называется дифференциалом df функции f в точке x. При этом в зависимости от того, в каком смысле понимается бесконечная малость R (h) по сравнению с h, различают слабый дифференциал, или дифференциал Гато, и сильный дифференциал, или дифференциал Фреше.
 Вероятно, разные школы немного по разному определяют слабый дифференциал, но в данном случае сам вопрос подразумевает возможную нелинейность дифференциала по приращению. Про твой вариант определения не знал, спасибо за него.

svetik5623190

В книжке Алексеев, Тихомиров, Фомин "Оптимальное управление" довольно подробно всё это разложено по полочкам, с примерами. Там ещё даже строгая дифференцируемость вводится, которая сильнее производной по Фреше.
Интересующимся рекомендую посмотреть. я в своё время когда прочитал то сильно пожалел что увидел эту книгу на 4 курсе а не на 2.

svetik5623190

Вероятно, разные школы немного по разному определяют слабый дифференциал
+100. Лично мне нравится терминология из АТФ, поскольку там упоминаются все основные дифференцирования и всё выглядит довольно логично и естественно.

soldatiki

Ответ на сообщение
бр-р-р-р... Господа, окститесь! Дифференциал - это всегда главная ЛИНЕЙНАЯ (по приращению h) часть. Разные определения дифференцируемости возникают из разных требований к бесконечно малой R(x,h) (бесконечно малая по h при раз и навсегда фиксированном x). Обычно еще требуют, чтобы ЛИНЕЙНЫЙ оператор L(x) при фиксированном x был непрерывен (в конечномерном случае это верно автоматически, в бесконечномерном - отнюдь). Производная по направлению - понятие более "живучее", чем дифференциал. Так, например, есть функции, дифференцируемые по каждому направлению, но не дифференцируемые даже в слабом смысле. Так происходит потому, что семейство {f_h}_h производных по различным направлениям h не обязано представляться в виде f_h = Ah, где A - линейный (тем более непрерывный) оператор. В таком случае говорят только о производных по направлениям, но не о дифференцируемости. Вот.

soldatiki

В последнем случае, кстати, говорить о дифференциале функции бессмысленно. Можно лишь говорить о "частных" дифференциалах по направлениям, но это тоже не интересно, так как фактически в этом случае рассматривается сужение нашей функции на прямую, порожденную вектором h и проходящую через точку x. Вся соль понятия дифференциала как раз в том, что такие вот "частные дифференциалы" можно "собрать во едино" и описать главную линейную часть приращения сразу для всех векторов h.

svetik5623190

Господа, окститесь!
Андрей, я с тобой не спрю, если ты заметил Ты всё правильно говоришь

croco

Дифференциал Гато линеен по определению. Нелинейной может быть вариация по Лагранжу. Если Вы имеете в виду ее, то можно взять функцию f(x, y)=(x^2y)^{1/3}. Тогда в 0 она имеет вар. по Лагранжу, которая не явл. линейным отображением.

gr_nik

Я читал именно определение, про которое говорил в Колмогорове-Фомине. Там написано чёрным по белому "Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h."
И приведённый в самом начале пример тому подтверждение, на мой взгляд. Покажите, что это не так по этому определению, если я чего-то недопонимаю.

soldatiki

Номер издания и страница?

gr_nik

Издание седьмое, Москва, Физматлит, 2004 год.
Страница 498.
А в чём проблема? Вы не доверяете высказавшимся здесь?
Если что, это учебник из серии "Классический университетский учебник", который к 250-летию выпустили.

gr_nik

Кстати, посмотрел ещё в Большом энциклопедическом словаре по математике.
Там такое же определение, но написано, что если предел линеен, то называется производной Гато, а иначе называется вариацией Гато.
Так что доподлинно известно, что пониматься производная Гато может в нескольких смыслах.
В любом случае, мой вопрос подразумевал определение из Колмогорова-Фомина.

soldatiki

Да проблема, собственно, в том, ЧТО же тогда такое дифференциал? Просто функция двух переменных: x и h? но если она не линейна по h, а линейна лишь по числу t, умноженному на h (при кажом h то грубо говоря, на кой черт нам такая функция? это ведь все равно, что говорить про семейство производных по всем направлениям.

soldatiki

И уж поверьте как сдавшему экзамен ВАК по функану, такое определение не имеет ничего общего с дифференциалом (Гато, Адамара, Фреше и всех остальных ибо там везде говорится о линейном по приращению h операторе (еще и непрерывном).

soldatiki

Во времена Колмогорова и Советской энциклопедии терминология, очевидно, еще не устоялась.

gr_nik

Ладно, спасибо, в любом случае, всем за горячее обсуждение.
По крайней мере, теперь я понимаю, что же разные люди под производной Гато понимают.

svetik5623190

Юзайте терминологию из АТФ и не будет противоречий и неоднозначностей. Хорошая терминология, всем рекомендую.
Её плюс так же в том, что много определений дано в одном месте с одной точки зрения.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: