d-символы группы SU(n)

dimitriymds

Математики, подскажите, пожалуйста, источники, где можно посмотреть различные свертки d-символов группы SU(n)
PS
d^{abc} - это не f^{abc} (то есть не структурные константы) :)

3deus

Если Вам нужны d-символы Гелл-Мана матриц, которые заданы по генераторам группы SU(3) (по базису алгебры Ли этой группы то смотрите статью "Гелл-Мана матрицы" в физической энциклопедии Прохорова.
Если не это, то дайте определение d-символов через структурные константы алгебры Ли su(n).
И вообще не понятно, какой аналог Гелл-мана матриц Вы имеете ввиду для случая группы SU(n n>=4?

3deus

Для Гелл-мана матриц свертки d_{abc} посчитать нетрудно. И вообще о каких именно свертках идет речь, по скольким индексам ?

dimitriymds

спасибо за ответ, во-первых! :)
Во-вторых, меня интересует именно SU(n) ! (n не меньше 3 и произвольно)
Общего определения d-символов мне не известно. Но знаю, что след трех генераторов выражается через них: он сводится к сумме двух слагаемых, одно из которых содержит структурную константу f^{abc}, второе - тот самый d-символ d^{abc}.

dimitriymds

Для Гелл-мана матриц свертки d_{abc} посчитать нетрудно. И вообще о каких именно свертках идет речь, по скольким индексам ?

да, для SU(3) мне все известно. Во многих книгах есть это.
Но меня интересует случай произвольного n.
Нужны свертки разные, в том числе свертки d-символов по одному индексу, свертки d-символов с генераторами (присоединенного, в частности) представления.

3deus

Но знаю, что след трех генераторов выражается через них: он сводится к сумме двух слагаемых, одно из которых содержит структурную константу f^{abc}, второе - тот самый d-символ d^{abc}.
Как Вы это поняли и какая точная формула (формула первого слагаемого, второе равно "гипотетическому" d-символу ).
Как я понял, задача такая: по аналогии с d-символами Гелл-Мана матриц найти формулы для сверток неких d-символов, построенных по базису алгебры Ли su(n). Сразу вопрос: какое представление алг. Ли лучше взять? Почему "естественное" представление?
Покажите аналогии со случаем n=3, которые Вы уже нашли, иначе Ваш вопрос кажется бессмысленным.

dimitriymds

Как Вы это поняли и какая точная формула (формула первого слагаемого, второе равно "гипотетическому" d-символу ).
Как я понял, задача такая: по аналогии с d-символами Гелл-Мана матриц найти формулы для сверток неких d-символов, построенных по базису алгебры Ли su(n). Сразу вопрос: какое представление алг. Ли лучше взять? Почему "естественное" представление?
Покажите аналогии со случаем n=3, которые Вы уже нашли, иначе Ваш вопрос кажется бессмысленным.

чо-та многа букафф понаписано ;) ...
Нет, Вы не правы! Задача состоит в другом. Я не пытаюсь из соображений аналогии с SU(3) вывести результаты для SU(n)! (мой вопрос возник именно в связи определенной моделью теории поля)
По поводу представления я уже писал выше: присоединенное! Почему так? Так требует физическая теория! :smirk:
d-символами Гелл-Мана матриц

мне кажется, что мы с Вами говорим о разных объектах... Как понимать процитированную фразу? :shocked:

3deus

Как понимать процитированную фразу?
Ой, а разве не так (если верить статье в энциклопедии, но не до конца):
l_{a} l_{b} + l_{b} l_{a} = (4/3) Кронекер_{ab} E + 2 d^{abc} l_{c}, где E - единичная матрица 3x3.
d^{abc} - искомый d-символ Гелл-мана матриц l_{1}, ... , l_{8}, причем d-символ симметричен по всем своим индексам.
Вообще, дайте пожалуйста ссылку, где можно подробно прочесть про Гелл-мана матрицы. :D

dimitriymds

l_{a} l_{b} + l_{b} l_{a} = (4/3) Кронекер_{ab} E + 2 d^{abc} l_{c}
очень похоже на то, что мне известно.
только в той записи, когда берется след от трех генераторов:
tr [ I_{a} {I_{b}, I_{c}}], где {a,b} = ab+ba. :)

3deus

мой вопрос возник именно в связи определенной моделью теории поля
Ну и раскройте тогда путь к строгому математическому определению d-символов для специальных унитарных групп ! :D
Хочу видеть формулу ... :D :)

dimitriymds

Вообще, дайте пожалуйста ссылку, где можно подробно прочесть про Гелл-мана матрицы.
забавно...
кто кого спрашивает. Я Вас или Вы меня... :grin:
Кое-что про сабж говорится в книге К. Хуанга "Кварки, лептоны и калибровочные поля"

dimitriymds

Ну и раскройте тогда путь к строгому математическому определению d-символов для специальных унитарных групп !

так я не против! :cool:
только надо понять, с чего начать... :grin:

3deus

только надо понять, с чего начать...
Начните, пожалуйста, с формулы
tr [ I_{a} {I_{b}, I_{c}}] = ...,
дописав правую часть равенства.

3deus

Кое-что про сабж говорится в книге К. Хуанга "Кварки, лептоны и калибровочные поля"
Спасибо !

dimitriymds

Начните, пожалуйста, с формулы
tr [ I_{a} {I_{b}, I_{c}}] = ...,
дописав правую часть равенства.
tr [ I_{a} {I_{b}, I_{c}}] = 4i d_{abc} - формула из Хуанга

3deus

tr [ I_{a} {I_{b}, I_{c}}] = 4i d_{abc} - формула из Хуанга
Теперь задача ясна: дана (вещественнозначная) билинейная форма на вещественной алгебре Ли su(n) вида d(u, v, w) = tr[ad_{u}{ad_{v}, ad_{w}}] ; требуется вычислить всевозможные свертки тензора d = (d_{i, j, k}). Напомню, что ad_{u}(x) = [u, x] - оператор присоединенного представления алгебры Ли. Только вот не понятно, зачем нужно писать 4i в Хуанговском определении d-символа.
Вы согласны ?
Какой ответ на эту задачу Вам известен для n = 3, 2 ?

dimitriymds

Вы согласны ?
ну, допустим. :cool:
Какой ответ на эту задачу Вам известен для n = 3, 2

зачем мне n=3? меня интересует случай произвольного n. Для n=3 значения всех d-символов мне известны (выписаны во многих книгах)... Посему любую свертку в таком случае я смогу подсчитать прямо в лоб. Меня интересует, есть ли, скажем, обобщение формулы
l_{a} l_{b} + l_{b} l_{a} = (4/3) Кронекер_{ab} E + 2 d^{abc} l_{c},

на случай произвольного n?
Начнем хотя бы с этого... :D

3deus

Кстати, из приведенного выше определения формы d = d(u, v, w) непосредственно следует, что форма d - симметрична, так как tr(XY) = tr(YX).

dimitriymds

Кстати, из приведенного выше определения формы d = d(u, v, w) непосредственно следует, что форма d - симметрична, так как tr(XY) = tr(YX)
не новость! :cool:
оно и без того известного...

3deus

Задача в моей формулировке выглядит очень привлекательно для математиков, ибо сформулирована на инвариантном языке. А я пока посмотрю Серра "Алгебры Ли. Группы Ли."
В общем я думаю, что эта задача уже где-то решена или решается неким естественным образом.

3deus

l_{a} l_{b} + l_{b} l_{a} = (4/3) Кронекер_{ab} E + 2 d^{abc} l_{c},
А про это чудище лучше забыть ...

3deus

не новость!
Зато какое приятное слегка комбинаторное доказательство.

dimitriymds

А я пока посмотрю Серра "Алгебры Ли. Группы Ли."
этот труд я смотрел... Ничего подходящего для себя оттуда не извлек...

dimitriymds

А про это чудище лучше забыть ...
как ни странно это звучит, но в физическом приложении сабжа (в моем случае) приходится работать именно с тензорным представлением... :smirk:

3deus

Я имел ввиду смотреть по духу, а не по букве. Ладно, спасибо Вам за интересную дискуссию,
я пошел спать.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: