задача(функан)

ilnar-terror

Дана последовательность функционалов на [math]$C[-1,1] : F_n(f)=\frac{n}{2} \int_{-1/n}^{1/n} f(x)dx$[/math] Нужно исследовать её на сходимость по норме, слабую и *-слабую сходимость. У меня получилось, что *-слабо сходится к [math]$F(f)=f(0)$[/math], по норме сходимости нет, а вот что со слабой делать - не знаю. Подскажите.

stm8702073

напомни определение слабой сходимости, тогда желающих помочь больше будет
а то я, например, его уже забыл

ilnar-terror

Последовательность [math]$x_n \in X$[/math] сходится слабо к [math]$ x \in X$[/math]([math]$X$[/math]- банахово если [math]$\forall f \in X^* $ [/math] [math]$f(x_n) \rightarrow f(x)$[/math].

Suebaby

[math]    $C[-1,1]^{*}$ изоморфно $M[-1,1]$ (пространству мер на отрезке).     Изоморфизм обозначим так: $F\mapsto\mu_F$    Рассмотрим $\varphi:M[-1,1]\to{\mathbb C}$ ($\varphi\in C[-1,1]^{**}$)    $\varphi:\mu\mapsto\mu(\{0\})$    $0=\varphi(\mu_{F_n})\not\to\varphi(\mu_F)=1$  [/math]
значит, не сходится
советую учебник А.Я.Хелемского

ilnar-terror

Я не понял последнюю строчку, объясни подробнее.

Suebaby

Я не понял последнюю строчку
[math]$\varphi$ каждой мере $\mu$ ставит в соответствие её значение на одноэлементном множестве $\{0\}$. Функционалу $F_n$ соответствует мера $\mu_{F_n}$ на отрезке $[-1,1]$, которая задаётся формулой $\mu_{F_n}(A)=\frac n 2 \mu(A\cap[-1/n,1/n])$, где $\mu$~--- мера Лебега. $\varphi(\mu_{F_n})=\mu_{F_n}(\{0\})=0$. Функционалу $F$ соответствует мера $\mu_F$ на отрезке $[-1,1]$, которая определяется соотношением $\mu_F(\{0\})=1$. $\varphi(\mu_{F})=1$. Поэтому $\lim\limits_{n\to\infty}\varphi(\mu_{F_n})\ne\varphi(\mu_F)$[/math]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: