Задачка на гиперповерхности

milana1

вроде бы простая, а решить не могу:
Есть сем-во гиперповерхностей F(x, y, z, u) = a, F - аналитична и неотрицательна, а - параметр, a>=0. При a>0 гиперповерхности неособые и связные. Доказать, что поверхность F(x,y,z,u) = 0 тоже связна
Буду благодарен за любые идеи

_shmel_

Что такое - неособая гип.поверхность? Есть пример, когда при отбрасывании этого условия задачка неверна?

milana1

>Что такое - неособая гип.поверхность?
градиент не обр. в 0, размерность на 1 меньше размерности пр-ва
>Есть пример, когда при отбрасывании этого условия задачка неверна?
нет. просто мне хватит неособых

stm7543347

Есть пример, когда при отбрасывании этого условия задачка неверна?
МБ. Где тонко, там и рвётся.

Rumata

Давайте максимально упростим задачу, чтобы понять в чем дело. Рассмотрим уравнение f(x)=a, где f(x) - многочлен степени n (все над полем C). Посмотрим на решения ур-ния f(x)-a=0. Ясно, что при общем выборе a (когда а пробегает открытое плотное подмножество в C) множество решений имеет максимальное число - n - связных компонент (по основной теореме алгебры). На замкнутом же подмножестве в области изменения параметра а у ур-ния могут появляться кратные корни, т.е. число связных компонент падает. По условию 0 принадлежит замыканию множества тех значений параметра а при которых гиперповерхность связна, поэтому по аналогии думается что гиперповерхность должна быть связна и при а=0. Вопрос конечно в том, как эти соображения превратить в доказательство.
Возможно, для полного док-ва в комплексно-аналитической ситуации была бы полезна т.н. подготовительная теорема Вейерштрасса, с помощью которой описывается локальная геометрия множества нулей голоморфной функции нескольких переменных (см. например том 1 Принципов алгебраической геометрии Гриффитса-Харриса, стр.19 - в электронном виде есть здесь: http://alelib.amillo.net/5/1/2/7/bde8db8f905d14361f31345c73ab5398 ) Но как я понял (т.к. речь шла о неотрицательности функции F в данном случае рассматривается вещественно-аналитическая ситуация.

stm7543347

Нет, это фигня. 0 - это предельная точка, никакой окрестности нет и быть не может. Боюсь, даже если ты перепишешь своё рассуждение в более понятном виде и без ошибок , полезнее оно не станет.

_shmel_

Хе... похоже, что в условии нельзя заменить связность на линейную связность

milana1

>в данном случае рассматривается вещественно-аналитическая ситуация
да

milana1

>похоже, что в условии нельзя заменить связность на линейную связность
почему? я был почти уверен, что они здесь взаимозаменяемы
можешь предложить контрпример для линейной связности?

_shmel_

На уровне идеи - взять какую-нть неспрямляемую кривую (пусть у F два аргумента, а не 4) типа границы множества Мандельброта как гиперповерхность F=0. Две точки нельзя соединить отображением отрезка конечной длины -> линейная несвязность . Потом как-нибудь достроить до непрерывности и гладкости Вроде бы это можно сделать так, чтобы удовлетворялись твои условия

edikbl

F вещественно-аналитична во всем четырехмерном пространстве?

milana1

пусть да
я даже не против заменить в условии четырёхмерное пространство на двумерное

kitten

Спроси у Корвина, он должен знать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: