Решить дифференциальное уравнение

mayuka

Дифур простой, надо или интегрирующий множитель хитро найти, или подстановку хитрую сделать, у меня не получается:
x" + (a1+a2)*x' + a1*a2*x + b1x*x' + a1*b1*x*x=0
Хотя бы интеграл такого уравнения найти, и то было бы дело, что то у меня фигня одна получается...

mayuka

однако если сделать подстановку простого вида z=x' :
z' + ( a1+a2 + b1*x)z=-a1*b1*x*x
в рекомендованном Филипове это есть не что иное как линейное уравнение вида y' + a(x)*y = b(x)
Тока именно это у меня что то не получается дальше разрюхать...

choconasty

u = x' + b1x² + a2x => u' + a1u = 0

mayuka

u = x' + b1x² + a2x => u' + a1u = 0
u = x' + b1x² + a2x
u' = x'' + 2b1xx' + a2x'
 => u' + a1u - b1xx'= 0
----
u = x' + (1/2)*b1x² + a2x тоже не катит...
Однако подстановка супер...я б не придумал такую...

lenmas

Если сделать замену x_1=x'+a_1x, то получится система {x_1'+a_2x_1=-b_1xx_1, x'+a_1x=x_1.
Если потом сделать замены неизвестных функций x=exp(-a_1t)y и x_1=exp(-a_2t)z, то получится система {y'=-b_1exp(-a_1t)yz, z'=expa_1-a_2)t)y. Наконец, если сделать замену переменной tau=expa_1-a_2)t то получится уравнение d^2y/d(tau)^2=-(b_1/(a_1-a_2tau)^a_2-2a_1)/(a_1-a_2y^2. Не думаю, что это уравнение простое для произвольного набора параметров a_1, a_2, b_1, диффурщики изучают асимптотические свойства таких диффуров, видимо, потому что решения у них сложные. Если есть диффурщики, то скажите свое веское слово

agroprom

решаешь как линейное ур-е, например, подстановкой z=u*v,
u'v+uv'+(a1+a2+b1x)uv=-a1b1x*x
1. v'+(a1+a2+b1x)v=0, v=exp(-(a1+a2)x-b1x*x/2)
2. u'=-a1b1x*x*expa1+a2)x+b1x*x/2)
а последний интеграл кажется "неразрешим в квадратурах" (во всяком случае, не для любых параметров)
 
это все еще та система?

mayuka

угу, все та же система.
Ща, попробую сделать, что АВС сказал...
просто про квадратуры маловато, надо хоть к чему-то придти, хоть интеграл найти какой нить...
Спасибо!

agroprom

ну так и придешь:
z=exp(-(a1+a2)x-b1x*x/2)*int(-a1b1x*x*expa1+a2)x+b1x*x/2dx
или x'=exp(-(a1+a2)x-b1x*x/2)*int(-a1b1x*x*expa1+a2)x+b1x*x/2dx

mayuka

x" + (a1+a2)*x' + a1*a2*x + b1x*x' + a1*b1*x*x=0;
 z=x' ;
z' + ( a1+a2 + b1*x)z=-a1*b1*x*x;
решаешь как линейное ур-е, например, подстановкой z=u*v,
u'v+uv'+(a1+a2+b1x)uv=-a1b1x*x
Вот этот переход не понял
1. v'+(a1+a2+b1x)v=0, v=exp(-(a1+a2)x-b1x*x/2)
2. u'=-a1b1x*x*expa1+a2)x+b1x*x/2)
Этот переход понял
z=exp(-(a1+a2)x-b1x*x/2)*int(-a1b1x*x*expa1+a2)x+b1x*x/2dx
  x'=exp(-(a1+a2)x-b1x*x/2)*int(-a1b1x*x*expa1+a2)x+b1x*x/2dx
Короче, получается (словами) производная переменной ИКС есть произведение экспоненты ( в показатели сидит сам ИКС) и интеграла от другой экспоненты, у которой тоже в показателе сидит ИКС , то есть аналитической пешение фиг найдешь?

agroprom

извини, я не заметила
у тебя ошибка в самом начале
подстановка z(x)=x'
d(z(x/dt=x''
z'z=x''
так что уравнение другое придется решать
 сейчас попробую решить
подожди немного
 

agroprom

x" + (a1+a2)*x' + a1*a2*x + b1x*x' + a1*b1*x*x=0;
z'z+(a1+a2+b1x)z+a1(a2+b1x)x=0
а дальше не знаю пока
если надумаю, сообщу

mayuka

извини, я не заметила
у тебя ошибка в самом начале
подстановка z(x)=x'
d(z(x/dt=x''
z'z=x''
так что уравнение другое придется решать
сейчас попробую решить
подожди немного

Нет! x=x(t)
Если z=x', то z'=x'', все правильно было про то решение, которое вначале было...так что просто объясни, как получено то решение, откуда вырахить x(t) явно не представляется возможным

sergeyvid

ошибку допустили в самом начале, забыл слагаемое при первой замене (z=x')

agroprom

x=x(t но подстановка z(x)=x'
здесь применяется такая подстановка, чтобы можно было воспринимать х как независимую переменную и не думать о зависимости z и х от t
 
z=x', то z'=x'' - это правильно, но только если z(t)=x' - эта подстановка применяется, если в ур-и второго порядка отсутствует х в явном виде
в твоем случае эта подстановка приведет к тому, что в уравнении будет 2 неизвестных функции - x(t) и z(t а z' в данном случае означает dz/dt, а вовсе не dz/dx.
ну и конечно там одно слагаемое потеряно, но это пустяки, раз все неправильно
 
если настаиваешь, то могу объяснить как решала линейное уравнение (может, когда-нибудь пригодится)
в общем виде:
у'+a(x)y=b(x)
решение ищем в виде произведения двух функций y=uv, причем на одну из них накладываем определенное условие:
u'v+uv'+a(x)uv=b(x)
u'v+u(v'+a(x)v)=b(x)
так вот в данном случае ищем решение в виде произведения функций u и v, причем v - любая функция. для которой сумма в скобках слева обращается в 0
линейное ур-е распадается на 2 с разд. переменными:
1. v'+a(x)v=0 - ищем любое частное решение
2. u'v=b(x) - подставляем найденное v
перемножаем, получаем у
 
можно и методом вариации произвольной постоянной решить, это не принципиально
но тебе сейчас это не нужно
уравнение получается нелинейное вида
y'y+a(x)y=b(x)
оно не однородное, не в полных дифференциалах и пр.
завтра вечерком подумаю, если будет время
а сейчас спать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: