Посчитать нормаль к поверхности

wauwfngth

Народ, помогите, плз!
Как найти уравнение нормали, к поверхности? Дано: уравнение поверхности, точка, через которую должна проходить нормаль (лежит не на этой поверхности). Вообще, в итоге надо расчитать величину отрезка нормали от поверхности до этой точки.

Спасибо! очень жду!

griz_a

Нормаль к поверхности задается вектором-градиентом к поверхности и точкой.
Если, конечно, поверхность гладкая
Решаешь lambda * gradf(X)+X=Y,
f(X)=0
где Y - заданная точка.
4 ур-ия, 4 неизвестных.

KaterinKa

Если уравнение поверхности f(x,y,z)=0, то вектор направления нормали будет {df/dx,df/dy,df/dz}.
Производные частные, берутся в той точке, откуда проведена нормаль.
Ах, пардон, не заметил, что точка на поверхности не лежит.
Тогда задача может не иметь решений, а может иметь и множество решений.

griz_a

величина отрезка lamda*abs(grad f(X

iri3955

Если поверхность гладкая, то
ближайшая к данной точка поверхности будет искомой
(x_0, y_0, z_0) - данная точка.
F(x,y,z) = 0 - поверхность.
Тербуется - min (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 при условии F(x,y,z) = 0
Строим многочлен Лагранжа (вроде):
H(x,y,z,t) = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 + tF(x,y,z)
Тогда решением будет проекция его экстремума на (x,y,z) (т.е. на t в решении просто положить, но найти придётся)
Система уравнений:
dH/dx = 2(x-x_0) + tF_x(x,y,z) = 0
dH/dy = 2(y-y_0) + tF_y(x,y,z) = 0
dH/dz = 2(z-z_0) + tF_z(x,y,z) = 0
dH/dt = F(x,y,z) = 0.

wauwfngth

а если F(R,tetta) то также частные производные можно взять по 4м переменным? и потом в какой точке их брать, если ее я не знаю, а только точку, лежащую на нормали, а не на поверхности?
как выглядит ур-е нормали через lambda (просто неизвестный параметр?) для функции моего вида?

wauwfngth

Ss
Спасибо!
Вроде поняла. Тока такое работает при "хороших" координатах? То есть мне все переделывать в декартовы или сферические? или можно оставить R, tetta?

iri3955

В сферических то же самое, тока уравнение расстояния запишется по другому, соответственно производные поменяются - тяжело. Возможно проще перейти.

wauwfngth

ладно, попробую!
а точно из такого Лагранжиана ищется экстремум?
Всем большое спасибо!

iri3955

Ну, уравниения совпадают с теми, что выписал

iri3955

Только у меня там двойка вылезла и это не может не пугать... Хотя отличие проявится только в t (lambda)

griz_a

x,y,z - те же получатся, значит и ответ тот же.
Автору - мои уравнения как раз и содержат 4 неизвестных - координаты точки, в которой проведена нормаль и lambda
Относительно них и надо решать.
Но это уже не суть, так оффтоп.
Решается?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: