Понравилась задачка

tester1

Найти произведение по n от 1 до бесконечности cos( x / 2^n)
Апдейт: прежде чем писать прозрачным шрифтом решение, прочитайте решения, которые прозрачным шрифтом написали ваши товарищи выше по треду.

tester1

зная ответ, можно угадать решение. а как решить, если ответа не знаешь?

tester1

да, точно, спасибо :)

tester1

суровое решение!

stm8853410

На самом деле нет. Первая идея — посмотреть, где у получившейся комплексной функции нули. Оказывается, что нули расположены почти так же, как у синуса.

forester_200

Пусть F_n(x) - это произведение первых n множителей, последним из которых является cos(x/2^n).
1 случай: x=0. Тогда F_n(0)=1. В пределе получаем 1.
2 случай: x!=0.
Рассмотрим F_n(x)*sin(x/2^n). После многократных сворачиваний по формуле двойного аргумента получится:
F_n(x)*sin(x/2^n) = (sin x)/(2^n).
При всяком ненулевом x при достаточно больших натуральных n число sin(x/2^n)!=0, поэтому при достаточно больших n справедливо равенство:
F_n(x) = sin x)/2^n)/(sin(x/2^n.
Устремим n к бесконечности. Знаменатель будет эквиваелентен (x/2^n). Значит, и предел будет точно такой же, как у дроби sin x)/2^n)/(x/2^n) = (sin x)/x.
Ответ:
если x!=0, то (sin x)/x;
если x=0, то 1

iri3955

 

tester1

Добавил апдейт. Всем спасибо за обсуждение.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: