Задача про счетные и несчетные множества

v1160908

На координатной плоскости дан единичный квадрат (0<=x<=1, 0<=y<=1). Можно ли раскрасить его в 2 цвета - черный и белый, так, чтобы в каждой строке (пересечении квадрата и горизонтальной прямой) было счетное количество черных точек, а в каждом столбце - счетное количество белых? (каждая точка квадрата должна быть окрашена)
Вроде бы, и ежу понятно, что нельзя, но уже неделю доказать не могу.

afony

Несуществование такой раскраски следует из теоремы Фубини для положительных функций: тогда и черное и белое множество имеет меру ноль.

plugotarenko

Кто сказал, что множества измеримы по лебегу?

v1160908

При внимательном прочтении теоремы Фубини можно заметить, что множество как минимум должно быть измеримым, чтобы она работала. Из условия задачи это не следует, поэтому такое решение не проходит.

v1160908

Блин, раньше меня сказали...

afony

Теоремы Фубини две, одна из них для неотрицательных функций. Сейчас сформулирую.

afony

См. Колмогорова-Фомина Гл. 5, параграф 6, Замечание к теореме Фубини.
Если f(x,y)>=0, и существует хотя бы один из интегралов \int \int f(x,y) dx dy или \int \int f(x,y) dy dx, то существует и интеграл \int f(x,y) d\mu (по плоской мере причем он равен первым двум.

v1160908

По-моему, в этом замечании речь идет об измеримых по Лебегу функциях. По крайней мере, это используется в доказательстве замечания.

Sanych

Предположим, что нет множества промежуточной мощности между счётным и континуумом. Тогда построение такое: берем все трансфиниты, меньшие континуума (их ровно континуум, он из них и состоит). Далее континуум в квадрате наполовину покрывается нашими трансфинитами.
В качестве аналогии -- представь, что правый верхний координатный угол порезали пополам диагональю. Тогда N на N
покрывается так, что в строке и в стобце конечное число одного из множеств.
Ну а если промежуточная мощность есть, то я думаю всё очевидно (так покрыть нельзя). Так что имхо ты исследовал т.н. гипотезу континуума, которая независима от стандартных аксиом.

v1160908

тема закрыта

v1160908

спасибо за разъяснение

zuzaka

риспект
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: