Мера и интеграл Лебега-Стильтьеса

seregaohota

Как считать такие, намекните, или для примера один подскажите, дальше я сам
C - большое - Канторово множество, c - маленькое - канторова лестница
Вычислить (LaTeX что-то глючит)
\mu_c C,
 \mu(c(C
 \mu_с(c(C
 \mu_{c^2}(C
 \mu_{c \circ c}(C
 \int x dc(x
 \lim \int x dc(x^n)

seregaohota

\mu_c C = 0? т.к.на каждом подмножестве Канторова множества лестница равна константе?

tester1

у тебя \mu_z — это мера на отрезке [0,1], плотность которой относительно стандартной меры Лебега равна z(x)?

tester1

 \mu(c(C
если c(C) — это образ канторова множества на отрезке под действием канторовой лестницы, а \mu — стандартная мера лебега на отрезке, то \mu(c(C=1, поскольку c(C) явно вычисляется, а именно, c(C) --- это отрезок, из которого выкинуты все рациональные числа со знаменателем, кратным 2, а их --- счетное множество, оно имеет меру 0, значит его дополнение, т.е. c(C имеет полную меру, т.е. 1.
раньше над такой задачей не думал, так что может и ошибаюсь, но вроде всё так.

Irina_Afanaseva

\му без индекса это Лебега

tester1

\му без индекса это Лебега
почему отвечаешь за топикстартера? ты его бот, что ли?

Irina_Afanaseva

ы его бот, что ли?
:) нет, мне другие задачи понравились:
\int с(x) dc(x)
\int x^2 dc(x)

seregaohota

\му без индекса это Лебега
Да очевидно

tester1

мне решил не отвечать?

Irina_Afanaseva

у тебя \mu_z — это мера на отрезке [0,1], плотность которой относительно стандартной меры Лебега равна z(x)?
z'

tester1

если так, то \mu_c (А) = 0 для любого измеримого по лебегу множества А, поскольку канторова лестница почти всюду (по стандартной мере лебега) дифференцируема и её производная почти всюду (по стандартной мере лебега) равна нулю. так что \mu_c имеет нулевую плотность относительно меры лебега, и поэтому представляет собой нулевую меру

seregaohota

Ты чо? Меры типа сосредоточенных масс в теоретической механике, когда производная равна нулю всюду, за исключением конечного (счётного) числа точек.
Дельта-мера Дирака
http://dmvn.mexmat.net/content/rcalculus/real.calculus-4s-bo...
страница 10 наверху. Мера точки 0 равна 1.
У Колмогорова Фомина правда вроде F(x) Стильтьеса непрерывна справа, нет сейчас под рукой

tester1

я отвечал пользователю , а он написал, что плотность z'. если так, то я всё верно написал
что имел в виду ты своим обозначением - ты так и не пояснил, хотя я спрашивал два раза

tester1

у тебя \mu_z — это мера на отрезке [0,1], плотность которой относительно стандартной меры Лебега равна z(x)?
или у тебя \mu_z - это мера с функцией распределения z? т.е. для любой ограниченной непрерывной функции f имеет место \int f(x) \mu_z(dx) = \int f(x) dz(x) - здесь справа интеграл Стильтьеса?

seregaohota

да, похоже
я эти задачки тоже как и ты первый раз почти одновременно с тобой увидел, доп.инфо нет
Если не забыл, короче в Колмогорове-Фомине мера Лебега-Стильтьеса на прямой: вроде насколько помню задаётся так - задана F(x) монотонно неубывающая, непрерывная справа, т.е. \lim_{x \to x0+0} F(x) = F(x0)
мера отрезка \mu( [a,b] ) = F(b+0) - F(a)
и меры интеравалов-полуинтервалов
\mu( (a,b) ) = F(b) - F(a+0)
\mu( (a,b] ) = F(b+0) - F(a+0)
\mu( [a,b) ) = F(b) - F(a)
Поэтому имхо мера Канторова множества по Канторовой лестнице =0:
\mu_c(C)=0
а мера отрезка [0,1] по лестнице = 1
\mu_c([0,1])=1
хотя они отличаются на меру 0 друг от друга. Дело в том, что из отрезка [0,1] при переходе к Канторову множеству выкидываются как раз те точки, на которых сосредоточена сингулярная составляющая (или как она называется?) канторовой лестницы, те точки, у которых масса не 0 с точки зрения теоретической механики.
а обычной непрерывной составляющей меры ту канторовой лестницы нет (или я что путаю?)

tester1

имхо мера Канторова множества по Канторовой лестнице =0:
\mu_c(C)=0
наоборот, =1.
а мера отрезка [0,1] по лестнице = 1
\mu_c([0,1])=1
верно
хотя они отличаются на меру 0 друг от друга.
на множество меры нуль по мере /mu_c, но не по мере /mu
Дело в том, что из отрезка [0,1] при переходе к Канторову множеству выкидываются как раз те точки, на которых сосредоточена сингулярная составляющая (или как она называется?) канторовой лестницы, те точки, у которых масса не 0 с точки зрения теоретической механики.
наоборот. когда функция F постоянна на отрезке, этот отрезок имеет меру 0 по мере /mu_F.
 а обычной непрерывной составляющей меры ту канторовой лестницы нет (или я что путаю?)
вот тут не путаешь.

tester1

итак, пока что установили, что:
\mu_c C =1
 \mu(c(C =1

tester1

из геометрических соображений симметрии ясно, что \int x dc(x) = 1/2 , т.к. это --- матожидание случайной величины, у которой функция распределения - канторова лестница

tester1

теперь возьмемся за
\mu_с(c(C
множество c(C) мы уже вычислили ранее. это --- все точки отрезка, кроме тех рациональных, у которых знаменатель является степенью двойки. данное множество множеству кантора не принадлежит, поэтому канторова лестница постоянна на нём, следовательно, \mu_с(c(C = 0.

tester1

чтобы найти
\mu_{c \circ c}(C)
вспомним, что (/mu_FA) = /mu(F(A для каждого измеримого множества А
поэтому \mu_{c \circ c}(C) = \mu_c(c(C а это мы уже нашли выше
поэтому \mu_{c \circ c}(C) = 0

tester1

итак, осталось найти
 \mu_{c^2}(C
 \lim \int x dc(x^n)

tester1

 \mu_{c^2}(C)
считается просто. в самом деле, функция c^2, как и функция с, постоянна на множестве, дополнительном к множеству кантора. значит, мера \mu_{c^2} этого множества, как и мера \mu_{c} этого множества, обе равны нулю. значит, \mu_{c^2}(C) =1.
а вот как находить
 \lim \int x dc(x^n)
- это надо спросить у , потому что это, кажется, что-то из теорвера

tester1

\lim \int x dc(x^n)
- это надо спросить у
с другой стороны, попробуем пока обойтись своими силами
в самом деле, представим себе график c(x^n) при большом n
это будет график функции, напоминающей x^n, потому что c напоминает тождественне отображение. то есть график будет идти от 0 до \delta при х от 0 до 1 - eps, а в точке 1 - eps круто пойдёт вверх и при прохождении х от 1 - eps до 1 пройдёт все значения от \delta до 1. здесь \delta и eps маленькие.
поэтому видно, что последовательность случайных величин с функцией распределения c(x^n) сходится к вероятностной дельта-мере дирака (мера, сосредоточенная в точке 0 поэтому
\lim \int x dc(x^n) =1
я кончил

seregaohota

\mu_c C =1
почему?

Irina_Afanaseva

если так, то \mu_c (А) = 0 для любого измеримого по лебегу множества А, поскольку канторова лестница почти всюду (по стандартной мере лебега) дифференцируема и её производная почти всюду (по стандартной мере лебега) равна нулю. так что \mu_c имеет нулевую плотность относительно меры лебега, и поэтому представляет собой нулевую меру
ну кто сказал что z' регулярна как обобщенная функция
если написать \mu_z(dx)=dz будет яснее?

tester1

\mu_c C =1
почему?
потому что /mu_c (C) = \mu (c(C а множество c(C) мы вычислили ранее явно, и оно - дополнение к счетному множеству

tester1

ну кто сказал что z' регулярна как обобщенная функция
этот формализм не работает, когда функции обобщённые. производная радона-никодима - это обычная интегрируемая по лебегу функция
если написать \mu_z(dx)=dz будет яснее?
кому яснее? мне вроде всё теперь ясно. я все твои задачи решил.
если что-то всё равно не понятно, можешь позвонить мне 8 926 3595145, расскажу устно :)

Irina_Afanaseva

этот формализм не работает, когда функции обобщённые
ты просто мало книг по обобщенным функциям читал. Там он именно так и работает.
\int ф(х)д(х) dx=ф(0) например, где как раз сингулярная дираковская дельта выступает в роли производной Радона-Никодима, хотя и не является таковой
а то, что ты задачи для второкурсников решил — это конечно хорошо

tester1

ты просто мало книг по обобщенным функциям читал. Там он именно так и работает.
ок
найди мне, плиз, производную радона-никодима классической меры лебега на прямой по классической дельта-мере дирака (единичный атом в нуле)

tester1

нет, мне другие задачи понравились:
\int с(x) dc(x)
 \int x^2 dc(x)
что ж решение не написал, раз понравились?

olga-sklyarova

\int с(x) dc(x)
По частям можно интегрировать в этом случае — вот и ответ :)

tester1

тут была лажа

griz_a

От положительной функции по неотрицательной мере интеграл 0 бывает редко :) В данном случае это очевидно не так. Да ты и сам замечал, что интеграл от х был бы 1/2

tester1

ааааа, я облажался :) реально, очевидно, что я неправ. спасибо!
у тебя есть идеи, как посчитать этот интеграл?

tester1

если можно один раз по частям, то, наверное, можно и два?

griz_a

Да понятно как считать:
int_{0}^{1} x^2 dc(x) = c(x) x^2|_0^1 - 2 \int_{0}^{1} x c(x) dx
А последний интеграл можно считать только по отрезкам [1/3, 2/3], [1/9,2/9] и т.д., как если б функция с(х) просто кусочно-постоянная была. Он-то по мере Лебега уже. Только вот достаточно неприятно это делать, поскольку придется j\2^{n} умножать на приращение x^2 по отрезкам вида [i/3^ni+1)/3^n] и складывать по каким-то там i, типа 1, 7, 17 (какие отрезки мы выкидываем на n-ом шаге где j - это значение канторовой лестницы на соответствующем отрезке

tester1

а не лучше
\int_{0}^{1} x c(x) dx
ещё раз по частям, чтобы от икса избавиться?

griz_a

А неопределенный интеграл от канторовой лестницы - это что-то хорошее?

tester1

определённый зато очевидно равен 1/2 из геометрических соображений симметрии

griz_a

:confused: х мы продифференцируем, а от с(х) брать первообразную не будем?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: