Вычисление ряда произведений некоммутирующих матриц

user6705

Известны ли какие-либо общие способы вычисления ряда произведений некоммутирующих матриц с элементами типа (A^n)*B*(A^n где А и В - произвольные матрицы. Если нет, то, может, есть что по этому вопросу для некоторых специальных случаев некоммутирующих А и В? Предлагайте способы любой сложности, а то тот способ, которым я посчитал, нуждается в проверке.
P.S.Если поможет - матрицы третьего порядка

vovatroff

Все-таки резонно было бы перейти к базису собственных векторов для B, тогда
B станет диагональной, и умножать на нее с обеих сторон сколько угодно раз будет несложно.
Кстати, если степени матрицы B возникли от разложений в ряд Тейлора каких-то функций f(B
то в указанном базисе они тоже будут диагональными матрицами с числами f(b_i) на диагонали,
где b_i - собственные значения B, и для их вычисления ряд Тейлора вообще не нужен.
Разумеется, для осуществления всего этого B должна быть диагонализуема, например,
эрмитова или унитарная.

user6705

По-моему, это не решит проблему. Вот по какой причине. Если мы перейдем к базису собственных векторов В, т.е найдем такое преобразование R, что матрица (R^(-1*B*R будет диагональной, то у нас появятся ряды с элементами типа R^(-n)*C*R^n,а этот ряд вычислить, как мне кажется, сложне, чем исходный.
Или я в чем-то не прав?

user6705

Нет, степени возникли не в результате разложения в ряд, а из-за последовательного перехода от одной системы отсчета к другой, осуществляемое матрицей B

vovatroff

Нет , при перемножении все матрицы перехода должны сократиться, проверьте.

user6705

Ступил. Спасибо

user6705

Немного поторопился
Если собственные значения матрицы А разные (а в моем случае они разные то полученная диагональная матрица не будет коммутировать с матрицей В, а потому этот способ вроде не подходит

vovatroff

Что значит "не подходит"? Возводить диагональную матрицу в степень разве не проще, чем недиагональную? А уж коммутирует она с B или нет - это ее личное дело. Умножать на диагональную матрицу тоже все равно проще.
Еще раз весь алгоритм: берем B -> находим собственные векторы и собственные значения -> получаем без проблем B^n как диагональную матрицу из n-х степеней соб. значений B -> преобразуем матрицу A к базису собственных векторов матрицы B (два матричных умножения - справа и слева) -> умножаем продукт справа и слева на диагональную матрицу B^n -> выполняем обратное преобразование результата к исходному базису (снова два матричных умножения - справа и слева).
Итого алгоритм требует: одну диагонализацию матрицы B и четыре полных матричных умножения при прямом и обратном преобразовании базиса (каждое действие - порядка N^3 операций, где N - размер матрицы остальные действия - с диагональными матрицами - требуют существенно меньших затрат (порядка N или N^2). Исходный алгоритм требует порядка (2n)*(N^3) операций, где n- степень, в которую нужно возводить матрицу. Судите сами.

user6705

дело в том, что мне нужна не программная реализация нахождения этого ряда, а математическая формула, содержащая конечное число члено. Наподобие того, как это получается с формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии: sum (A^n*B)=(E-A)^(-1)*B.

vovatroff

А где ряд-то, собственно? Я видел только произведение матриц. Возможно, это был общий член ряда?
2. Общей формулы для собственных значений и собственных векторов матрицы действительно нет (увы).
Хотя если это именно 3х3 и матрицы типа поворотов, то, думаю, можно вывести.

user6705

в самом начале я указал:
Известны ли какие-либо общие способы вычисления РЯДА некоммутирующих матриц с элементами типа (A^n)*B*(A^n где А и В - произвольные матрицы.
Плохо, что нет такого способа. Но все равно спасибо

vovatroff

Секундочку. Кажется, теперь я начал понимать. По существу, имеется в виду, как посчитать некий ряд из коммутаторов - что-то типа, например, разложения Бейкера-Кемпбела-Хаусдорфа в теории алгебр Ли. К сожалению, детальнее помочь в этом не могу, но советую посмотреть литературу на эту тему.

user6705

Реально, что-то такое нашел. Спасибо.
Вот теперь только бы разобраться в этом

vovatroff

Да это по б.ч. формальная наука про матричные уравнения. Кстати, в таких задачах хороши всякие софты для символьных математических вычислений. В том же Мэпле, по-моему, есть даже раздел про алгебры Ли.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: