Математическое образование в США

fatality

Наткнулся на записки одного (бывшего) московского математика старшего поколения, которому довелось преподавать матанализ экономистам в США после эмиграции. Записки удивительно напоминают отзывы некоторых моих друзей, преподающих там уже 4й год, так что, полагаю, писалось откровенно и от души. В общем, это все авторское изложение хорошо известных фактов, но некоторые места запощу все же.
Преподавание «Алгоритмов» в Бостонском Университете
Существует массовое убеждение, что Соединенные Штаты поддерживают демократическое движение в России. В моем представлении демократия всегда связывалась с хорошим образованием для всех людей, и я знал, что так думают и сами американцы. Итак, когда я приехал в эту страну, я ожидал получить большие возможности учить студентов мыслить критично, независимо и продуктивно, не встречая препятствий со стороны властей. Мое первое впечатление не противоречило этим ожиданиям.
Мне предложили читать курс «Анализ алгоритмов» аспирантам факультета компьютерных наук Бостонского университета. Имелся отличный учебник Кормана, Лейзерзона и Райвеста. Руководство факультета пользовалось очень разумным правилом — давать полную свободу преподавателю, а я постарался применить его на благо своим студентам. За один семестр было пройдено больше половины материала, содержавшегося в этой объемистой книге. Математическое вступление было особенно полезным, поскольку я заполнил многие пробелы в предыдущем образовании моих слушателей.
Мои 19 студентов прибыли со всего мира, но большинство из них прекрасно сотрудничали друг с другом. После каждой лекции они собирались, обсуждали задачи, которые я им давал, и решали их вместе. Некоторые задачи я составлял сам.
Не было и проблем с оценками. Факультет дал мне «карт-бланш» и я использовал ее во благо моих студентов: почти все занимались усердно и получили хорошие оценки.
«Он должен учить по книге... »
Но в следующем году, когда я начал преподавать так называемый бизнес-калькулюс (2) в громадном университете штата, я оказался в совершенно новой ситуации. Все мои идеи насчет того, что студентов нужно учить думать, оказались совершенно не к месту. Больше всего меня поразило то, что многие студенты вообще не хотели, чтобы их учили думать, справляться с трудностями и решать интересные задачи. Они хотели лишь получать хорошие оценки с регулярностью конвейера.
Представьте себе, что рабочему на конвейере приходит в голову некая интересная мысль, и он пытается воплотить ее в работе. Понятно, что у него будет много неприятностей. Именно это случилось со мной, когда я впервые столкнулся с американскими студентами. Многие студенты вполне довольны, когда преподаватель просто повторяет и объясняет то, что написано в учебнике. Возможно, им самим трудно прочесть, что там написано, хотя большинство учебников элементарно просты. Сперва я этого не понял, и один студент написал про меня: «Он должен преподавать по книге и давать на экзамене примеры из текста или похожие».
Я был поражен, что не могу найти ни одной нестандартной задачи в учебнике. Но я сказал себе: вот хороший случай показать, что я умею! Я УМЕЮ придумывать нестандартные задачи! ТАК я и сделал! И мой первый тест полностью провалился: он оказался настолько сложным для студентов, что большинство из них получили очень низкие оценки. Оказалось, что чисто технические вычисления, на которые я привык не обращать внимания, для многих студентов представляли значительную сложность. Далеко не сразу я понял, что они не владеют элементарными алгебраическими преобразованиями. Потом, готовя очередной тест, старался сделать его как можно проще, и все же это не всегда удавалось; тесты оказывались слишком сложными.
Шли месяцы, и я вывел следующее правило: если проблема интересна для меня, она слишком сложна для студентов; лишь тривиальные задачи можно давать для теста. Когда я готовил тесты, мне приходилось несколько раз переделывать задачи, делая их все проще и проще. Однажды я готовил тест по курсу дискретной математики. В одной задаче речь шла о квадрате, разделенном на клетки. Сперва я взял квадрат 10х10. Затем я уменьшил его до 8х8, потом 5х5, потом 3х3, Уменьшать дальше было невозможно, и все-таки некоторые студенты запутались и в этом квадрате 3х3.
К счастью, один из моих студентов, Роберт Тафтс, бывший инженер, жил прежде в Евpoпe и Японии и имел богатый опыт учебы. Для него мой стиль преподавания был привычен, он ему нравился, и он сказал об этом другим студентам. Тогда они окрестили меня «Европейским преподавателем», и это сгладило их недовольство. И все же один студент писал: «Пожалуйста, объясните мистеру Тоому систему оценок и преподавания в ЭТОЙ стране. Мистер Тоом предполагает, что его студентов учили так же, как его самого. В колледже я получал высшие оценки по алгебре и тригонометрии и не вижу смысла получать плохие за этот курс. Пожалуйста, дайте этому человеку по рукам». В следующем семестре я исправился: я брал учебник и объяснял примеры из него. Никто не жаловался. Чем меньше я учил, тем меньше было у меня неприятностей.
Я создал много трудностей и себе самому, и руководству факультета, когда дал студентам список задач, которые сам составил. Я-то хотел дать студентам некоторые дополнительные знания, а они называли эта задачи «экстра-кредитными». Те студенты, которые их решали, претендовали на дополнительные очки, а те, кто их не решали, хотели получить полный балл. В следующем семестре я решил не давать таких задач, и никаких проблем у меня не возникло. Чем меньше я учил, тем меньше у меня было неприятностей.
Методом проб и ошибок мне пришлось выяснить, какая большая часть элементарной математики является на этом курсе табу. Не сразу я понял, что рассказываю об экспоненциальных функциях студентам, которые не знают о геометрической прогрессии. Многие студенты терялись, когда я включал в тесты частично-определенные функции. Другой раз я совершил ошибку, включив в тестовую задачу тригонометрическую функцию. Я не мог и представить, что студенты, изучавшие «калькулюс», не знают тригонометрии, но дело было именно так. Понятно, что меня вызвали к начальству и сделали выговор. Помимо этого, мне позвонил один выпускник юридического факультета и; ссылаясь на решения администрации, обвинил меня в том, что я зря трачу деньги налогоплательщиков, обучая студентов тому, что для них бесполезно. После нескольких случаев такого рода руководство факультета решило не приглашать меня на следующий год, хотя они знали, что я компетентный преподаватель, нуждающийся в постоянной работе. Они не хотели проблем со студентами.
Я заметил, что профессиональные математики относились к курсу «бизнес-калькулюс» примерно как русские к партсобраниям: никто вслух не возражает, но все стараются улизнуть. Поэтому на эту грязную работу приглашают иностранцев, вроде меня. Но иностранцы быстро приспосабливаются к системе, так что американские студенты даже не успевают заметить их неопытности. Мне хватило нескольких месяцев: напор тех студентов, которые хотели получить хорошие оценки, занимаясь как можно меньше, поддержанный руководством университета, заставил меня больше заботиться об отсутствии жалоб, чем об истинных знаниях моих студентов.
Один иностранец, не первый год учивший американцев, советовал мне по-дружески: «Слушай, не лезь на рожон. Образование в этой стране — не наша забота. Никому нет дела, если ты не успеваешь по программе, главное — не высовывайся» (3). И он поехал домой с честно заработанными долларами, так как делал именно то, чего хотели от него американцы — и студенты, и администраторы. Понятно, что в своей стране он преподает иначе.
Оценочная лихорадка
Представьте, что вы летите в самолете. Что для вас важнее: настоящая квалификация пилота или бумага, подтверждающая эту квалификацию? Или, допустим, вы заболели и нуждаетесь в помощи врача. Что для вас важнее: его знания или диплом? Уверен, что знания и умения важнее. Но несколько месяцев назад я столкнулся с большой группой людей, которые думали как раз наоборот: это были мои студенты. Не все, но многие. Они больше беспокоились о том, чтобы получить документы, подтверждающие наличие у них знаний, а не сами знания. Как только я начинал объяснять им что-то, хоть немного выходящее за пределы стандартного курса, они спрашивали с подозрением: «Это будет на тесте». Если я отвечал «нет», они тут же переставали слушать и всячески показывали, что я делаю что-то неподобающее.
Мне пришлось также уразуметь, что американские студенты желают точно знать заранее, какой процент итоговой оценки получается от домашних заданий, какой — от тестов каждого типа. Зачем? Это не секрет: чтобы наиболее эффективно решить проблему «максимина»: максимум оценки при минимуме учебы. Таким образом, оценка становится самоцелью, и ни студенты, ни родители, ни руководство университета не видят в этом ничего плохого. Все чиновники интересуются только официально зарегистрированными результатами.
Основной принцип рынка состоит, в том, что каждый стремится получить как можно больше, а заплатить как можно меньше. Это нормально. Ненормально, что некоторые студенты применяют этот принцип к учебе. Похоже, они считают, что ПОКУПАЮТ оценки и ПЛАТЯТ за них своей учебой. И они стремятся платить как можно меньше! Только по недоразумению они могут изучить что-нибудь «лишнее», и тогда предъявляют преподавателю претензии, как если бы по его вине понесли лишние расходы. И университетских чиновников это вполне устраивает.
Некоторые студенты настолько заняты, подсчитывая баллы в тестах и прикидывая оценки, что у них нет времени думать о математике. Похоже, что ни им, ни руководству университета неважно, учились ли они вообще: главное, что они преодолели еще один барьер в беге с препятствиями, ведущему к выпуску. (И даром потратили еще несколько месяцев из своих юных и самых продуктивных лет).
После каждой контрольной я объяснял правильные решения. Многие студенты говорили: «Теперь понятно». Я радовался: цель моего преподавания достигнута. Но студенты говорили это с сожалением, подразумевавшим: «Это понимание бесполезно, поскольку наступило слишком поздно, чтобы обеспечить мне хорошую оценку». Для меня тесты были средством улучшить понимание, для них понимание было средством улучшить оценку. И многие студенты просто не ходили на разборы: после контрольной им было уже ни к чему понимать что-то.
Хотя мой собственный опыт невелик, я полагаю, что описанная ситуация типична. В другом штате студенты жаловались на преподавателя математики, тоже недавнего выходца из России: «Мы платим столько же, сколько другие, но должны знать больше, чем они, чтобы получить такую же оценку».
Еще в одном штате еще один выходец из России нашел удачный способ успокоить своих студентов; когда, они спрашивали, как он будет ставить оценки, он отвечал, что будет делать это «на кривой». Я спросил, что это значит, и он ответил, что, что не знает. Главное для него было, чтобы студенты успокоились, внимательно слушали лекции и решали задачи. Теперь я знаю, что значит «на кривой», и мне это не нравится, поскольку побуждает студентов воспринимать успехи других как собственную неудачу.
Иногда установка «учиться как можно меньше» бывает оправдана, например, если учебник и учитель совсем плохи, а выбора нет. Но выбор обычно есть, а студенты не могут отличить хороший учебник от плохого. Учеба ради оценок имеет смысл, если студенты полностью разочарованы в преподавателе, если они и не надеются узнать от него что-то стоящее, — вот тогда и только тогда можно учиться ради оценки — чтобы получить хоть это. Но мой опыт показывает, что студенты, которые учатся ради оценок, делают это у любого преподавателя. Они не сознают, что оскорбляют преподавателей, ибо такое поведение для них естественно. Они хотят знать процент оценок еще до знакомства с преподавателем, университетские чиновники воспринимают такое требование гораздо серьезнее, чем содержание учебного курса.
Многим студентам, похоже, просто не приходит в голову, что учение может иметь какую-то другую ценность, помимо оценок. Они учатся долгие годы в начальной, средней и высшей школе, общаются с преподавателями и администраторами, и у них не появляется повода усомниться! Разве что попадется какой-нибудь раздражающий иностранец! Иностранцы, однако, быстро понимают, что выжить здесь может только тот, кто приспособился к системе и не критикует ее. На разных уровнях новоприбывшим дают понять, что страна нуждается в интеллектуалах, но не слишком независимых. Это одна из причин, почему многие иммигранты, бывшие прекрасными преподавателями математики в России, так мало сделали для реформы американского образования. В моем случае, давление со стороны студентов заставило меня отклониться от принципа делать все как можно лучше: мне пришлось думать, как обезопасить себя от жалоб студентов, а не об их подлинных интересах.
На одной из лекций, когда меня спросили, почему даю задачи, непохожие на те, что в учебнике, ответил: «Потому, что я хочу, чтобы вы знали элементарную математику». Я считал, что такой ответ достаточен. В Москве студент университета, которому сказали бы, что он не знает элементарной математики, смутился бы и немедленно вник бы в суть дела. Обычно элементарную математику преподают детям, которые и выглядят как дети. Представьте мое изумление, когда после такого ответа большая группа рослых взрослых поднялась и затопала к выходу. Они решили (правильно что смогут окончить университет и не зная элементарной математики и что легко найдут преподавателя, который будет учить их по учебнику.
В следующем семестре я больше не пугал студентов обращением к азам. И хотя я прекрасно понимал, что идти вперед без заполнения пробелов в основах — все равно что строить на песке, я не мог позволить себе заботиться о студентах, поскольку должен был заботиться о том, чтобы они на меня не жаловалась. Особенно я смущал студентов, когда пытался объяснить ошибки в учебнике. Многие из них предпочитали брать на веру все, что там написано.
Я изучил Американскую конституцию и не нашел там положения, гарантирующего студентам право на невежество. Однако, многие ведут себя так, как если бы такая гарантия существовала. А многие университетские чиновники ведут себя так, как будто вынуждены с этим мириться. Почему? Один чиновник объяснил мне, что некоторое время назад некоторые студенты судились с университетом из-за оценок и выиграли дело. Теперь деканаты заботятся о том, чтобы, больше не иметь таких неприятностей. Способные студенты лишаются возможности узнать больше, но они не жалуются (к сожалению и чиновники не беспокоятся о них.
Я не предлагаю обвинять во всем студентов. На самом деле их взгляды отражают цинизм тех, кто планирует учебные курсы не ради пользы для студентов, а руководствуясь другими целями: например, поставить еще одно платное препятствие на пути тех, кто хочет учиться в бизнес-школе, или обеспечить занятость преподавателям и т.д. Курс «бизнес-калькулюса» словно специально придуман, чтобы мешать тем, кто хочет обучаться в бизнес-школе.
По отношению к учебе студентов можно поделить на три группы. Одни действительно хотят учиться. Они наиболее разумны, и руководству следовало бы прислушиваться к их мнению, но этого не происходит, поскольку такие студенты никогда не жалуются. Преподаватель может свести свой курс к общеизвестным вещам, прочитать только половину, и никаких неприятностей не будет. Вторая группа — те, кто не знают, чего хотят на самом деле. Они могут и усердно учиться, и тратить время зря — в зависимости от ситуации. А есть студенты, для которых все отношения с университетом сводятся лишь к преодолению еще одного бюрократического препятствия. Все мои попытки заинтересовать их предметом проваливались: я говорил им о математике, а они — о баллах и оценках, которые им надо получить. Вот их-то и слушают чиновники, потому что от них больше всего неприятностей.
Конечно, всегда и везде были ленивые студенты, но на этот раз я увидел нечто иное. Систему обучения определяли не руководители. Я увидел систему обучения, созданную в угоду тем студентам, которые рассматривали ее как сделку, которые вообще не имели духовных ценностей. И это было сделано в ущерб тем (и многим кто действительно хотел учиться.
Культура и родители
Чтобы исключить непонимание, должен заметить, что вовсе не считаю, что какие-либо (этнические, социальные и др.) группы учащихся категорически не желают или неспособны учиться. Я вовсе не думаю, что существуют гены интереса, любопытства, внимания, систематической работы, вежливости, уважения. Я хочу лишь подчеркнуть, что предпочтения студентов культурно предопределены. Большинство моих студентов озабочены только вопросами о баллах и оценках. Те, кто спрашивал, как решить задачу (СЕГОДНЯ многие такие — дальневосточного происхождения делали столько же ошибок, сколько и другие, но они хотели понимать, даже если это не сулило им лучшей оценки. И как раз они и получали лучшие оценки.
Это факт культуры, что некоторые студенты уважают преподавателей и саму идею учения больше, чем другие (которые уважают только деньги). И те, кто уважает учебу, добиваются лучших результатов, насколько допускает система. Некоторые студенты думают: «Я не могу решить эту задачу. Надо поразмыслить или спросить учителя. Я все-таки должен понять». Другие думают: «Я не могу решить эту задачу. Это учитель виноват, что дал такую задачу, которую я не могу решить. Не мое дело в том разбираться. Лучше пожалуюсь в деканат». И что думает студент — это важный культурный фактор.
Не секрет, что одним из важных компонентов культуры вляется влияние родителей. Известно, что интеллектуальный уровень детей обычно соответствует уровню родителей, но любой разумный исследователь найдет этому много объяснений помимо биологической наследственности. Даже на взрослых учащихся влияют родители. И это влияние огромно, когда ученики — маленькие дети. Некоторые родители добиваются от своего отпрыска хороших оценок всеми средствами, но забывают объяснить ему, что уровень его развития и настоящие знания их тоже волнуют.
Я понимаю, что некоторые студенты — первые в семье, кто получает высшее образование. Их родители всю жизнь занимались однообразной работой, стараясь получить больше денег при меньших усилиях, и были правы. Теперь их отпрыски выполняют однообразные задания в университете, стараясь получить оценки повыше, и работать поменьше, и вся семья считает, что это нормально. Родители будут очень довольны, когда их чадо окончит университет, и будут считать, что теперь в семье есть свой «интеллектуал», но на самом деле — это покупка уцененного диплома на университетской распродаже! И как многое, купленное на распродаже, такой диплом хорошо смотрится, но никуда те годится.
Я прекрасно понимаю, что большинство моих студентов в Москве были детьми интеллектуалов, поскольку в России (и в большинстве стран) гораздо меньший процент молодежи, чем в США, поступает в высшие учебные заведения. По сути, в США идет эксперимент: попытка дать высшее образование тем слоям общества, которые остаются без него в большинстве других стран» И мы должны позаботиться, чтобы это было настоящее образование, а не фикция.
Рынок против скромности
Из истории науки известно, что великие ученые были скромными. Это не было жертвой: чтобы сосредоточиться на новых задачах, нужно отложить в сторону свои прежние достижения. То же относится к способу написания учебника: нужно сосредоточиться на настоящих трудностях предмета и учиться их преодолевать (а не сводить задачу студентов к следованию стандартным правилам). По-настоящему полезные учебники должны быть скромны и должны сосредотачиваться на главном. Но скромность неуместна в мире рынка и рекламы: неизбежны претенциозность и помпа. Поверхностный и трескучий рыночный стиль плохо влияет на образование. В Бостоне мне предложили преподавать компьютерную грамотность, используя книгу, якобы обучавшую БЕЙСИКУ. Но программы там состояли в основном из комментариев и только одна программа включала цикл.
Учебник, по которому я должен был преподавать бизнес-калькулюс, — это объемистая книга, способна произвести впечатление на неспециалистов, например, родителей студентов. Названия ее глав повторяют названия действительно важных математических теорий. Но все нетривиальное из книги заботливо убрано. В каждой главе содержатся рецепты, наподобие кулинарной книги, и задачи сводятся к прямому следованию этим рецептам. Интересы будущих специалистов вовсе не учитываются (4). Материал разных глав не связан, проблемы не представляются с разных сторон, студентам не дается возможность самим выбирать методы решения. И именно этой книге было отдано предпочтение, хотя есть другие, уж во всяком случае, более полезные.
Большинство студентов молоды и незрелы, их предпочтения только формируются. Каждая школа не только преподает определенные предметы, но и создает понимание того, какими должны быть учеба и умственная деятельность. В настоящее время ситуация такова, что итоговая оценка считается главным результатом учебы. Многие студенты недостаточно самостоятельны, чтобы защититься от этого дурного влияния, и получают дутое образование, затратив настоящее время и деньги. Им не хватает достоинства и независимости, чтобы устоять перед общественной системой.
Конечно, многие американские студенты знают, что «бизнес-калькулюс» — лишь бюрократическая фикция, и те, кто действительно хочет учиться, выбирают другие курсы. Но иностранцы выбирают этот курс, наивно полагая, что получат знания и в калькулюсе, и в бизнесе, и зря тратят время. Один из моих студентов, Марк Воон, приехал из Сингапура учиться и набираться опыта. Он настойчиво решал все задачи, которые давал. К сожалению, это было не бог весть какое достижение, поскольку большинство задач были стандартными: других задач не было в учебнике. Ему нравились задачи, составленные мной, и он не сдавался, пока не решил их все. Но другие студенты жаловались на мои нововведения, и мне пришлось свести свой курс к тривиальностям. Марк своего добился в том смысле, что имел у меня высшую оценку, но он выучил гораздо меньше, чем мог бы, учитывая его прилежание и способности. Он мог и хотел учиться, я хотел учить. Он мог бы стать ученым, если бы посещал мой семинар, но ничего такого не вышло, — так был спланирован курс.
Как американские математики относятся к преподаванию
Первое, что удивило меня, было совершенно иное, чем мое, отношение американских коллег к образованию и преподаванию. Когда я заговаривал с ними об образовании, они отвечали примерно так: «Это не мое дело. Есть специальные люди, чтобы думать об этом», как будто я говорил о чем-то важном, но совершенно постороннем. По моим наблюдениям, большинство американских математиков избегают преподавательской деятельности. Когда, американский математик говорит, что хорошо устроился, обычно имеется в виду, что он не преподает. И когда математику с научными амбициями (обоснованными или нет) приходится преподавать, он нередко старается делать это механически. И студенты считают это в порядке вещей и учатся тоже механически. Преподаватели и студенты «сводят счеты», и преподавание, и изучение математики становится пустой тратой времени в угоду бюрократам. Эта система (как и любая система) прочна: если недавний иммигрант, еще неопытный, оказывается другим, например, ему нравится преподавать, он не вписывается в систему, вызывая лишь проблемы.
Отношение математиков к преподаванию прекрасно соотносится с отношением некоторых студентов к учебе. Некоторых, но не всех. Конечно, мало радости учить тех, кто желает только высоких оценок. Но все-таки в целом студенты не так безнадежны, как считают некоторые преподаватели (5). Конечно, бывают студенты, которые любому отобьют желание преподавать. Но всегда есть студенты, которые действительно хотят учиться, и ради них стоит тратить силы. На каждом из моих курсов были студенты, приходившие в восторг именно от того, на что другие жаловались. Они спрашивали, буду ли я преподавать на следующий год, и советовали опубликовать составленные мной задачи. Мои бывшие студенты приходили поблагодарить меня, они говорили, что после моего курса последующие даются им легко. Не раз мне приходилось говорить студенту: «Вы хорошо справились с моим курсом, и я ставлю вам высшую оценку. Но это не так уж много значит, поскольку то, что я вам преподаю — не настоящая математика».
В целом американцы, очень много внимания уделяют общественным проблемам. Гражданские права, окружающая среда, аборты и многие другие важные вопросы привлекают их внимание, и многие люди готовы тратить время и деньги, чтобы добиться того, что они считают правильным. Многие добровольцы работают санитарами, социальными работниками, пожарными. Возможно, они в детстве мечтали стать пожарными. Конечно, очень мужественно быть пожарным. Однако, образование остается за пределами их внимания и побуждений. Мечтают ли дети стать учителями? Похоже, что в этой стране — нет.
Среди математиков господствует мнение, что настоящее дело — это наука, а преподавание для тех, кто не способен заниматься наукой. Я думаю, что такое мнение опасно и подвергает опасности репутацию науки. Некоторые оправдывают плохое преподавание, говоря: «Раз студенты за это платят, значит, это можно продавать». Но то же самое говорят и торговцы наркотиками. Специалист отвечает за то, чтобы делать свое дело как следует, даже если адвокат не отличит правильного от неправильного. Учитель отвечает за то, чтобы учить так, чтобы ученики действительно учились.
В сущности, моральный уровень тех, кто преподает «бизнес-калькулюс», похож на уровень торгашей колониальных времен, сбывавших дешевые побрякушки и «огненную воду» невежественным туземцам, чью роль теперь выполняют студенты. Представьте, что необразованный человек заболел. Порядочно ли давать ему поддельное лекарство только потому, что он не сумеет отличить его от настоящего? То же с образованием. А вред от поддельного образования очевиден: оно плодит невежд и псевдоинтеллектуалов.
Многие годы советская власть напрасно пыталась не слышать ученых и раздражалась, когда они «совались» в общественные дела. Академик Сахаров — наиболее известный пример прямого вмешательства русского ученого в политику, но я уверен, что преподавательские усилия многих других были не менее важны. В этом смысле свободный американский рынок труда укрощает вольнодумцев гораздо эффективнее, чем любые советские тираны: большинство американских математиков стараются как можно меньше связываться с образованием из-за существующей системы вознаграждений.
Некоторые задачи из элементарной математики
Я люблю начинать курс «введение в калькулюс», предложив студентам проголосовать по следующему вопросу: Возьмем бесконечную десятичную дробь 0,99999... Эта дробь меньше единицы или равна единице? Обычно большинство решает, что дробь меньше единицы. Когда я спрашиваю, насколько меньше, студенты дают разные ответы в зависимости от того, какими калькуляторами они пользуются. Так начинается полезное обсуждение, в котором участвуют все, поскольку чувствуют, что это их действительно касается. Каждый студент пытается доказать, что именно его ответ верный, и это помогает мне убедить их, что все они ошибаются: дробь равна единице.
Вы можете спросить: зачем я начинаю с того, что заставляю студентов принимать неправильное решение, да еще в такой явной форме? Потому что я убежден, что преподаватель должен поддерживать в студентах внимание и критичность к себе. Если бы я просто сказал, что дробь равна единице, они бы охотно согласились, но так бы ничего и не поняли.
Русские студенты были довольны каждый раз, когда мне удавалось заморочить им голову. Даже ребенок понимает, что это педагогический прием для закреплени знаний. Это очевидно: мудрая природа заложила в людей, особенно в молодых, любовь к сомнению (поэтому мы платим фокусникам за то, что они нас обманывают). Хороший студент рад возможности встретиться с чем-либо озадачивающим и толкающим к ошибкам, поскольку это дает ему возможность научиться лучше соображать.
Но американские студенты слишком чувствительны ко всему, что они считают неудачей, даже самой незначительной. Когда мои интонации уводили их в неверном направлении, они воспринимали это как нарушение неких джентльменских правил. Такое впечатление, что некоторые американские студенты не могут позволить себе естественной человеческой любви к интеллектуальным приключениям из-за давления оценок. Если советы преподавателя не ведут их прямо к правильному ответу, они считают это промахом учителя, а не педагогической хитростью. Но как при таком отношении научиться преодолевать интеллектуальные трудности? Некоторые считают, что они должны преуспеть с самого начала, а если не удалось — то это непоправимо. Они считают себя обязанными выдавать правильные ответы со скоростью ковбойской перестрелки в вестернах, а если не могут, то чувствуют себя безнадежными неудачниками и не подозревают о возможности самостоятельного развития. Официально на каждом курсе требуются регулярные проверки — тесты. Проводя такие тесты, я обнаружил, что можно окончить университет, не научившись решать простейшие, буквально арифметические задачи. Я включил в свой курс задачу, которую решал еще в школе: Том и Дик могут сделать работу за 2 часа. Том и Гарри сделают ту же работу за 3 часа, Дик и Гарри — за 4 часа. Сколько времена понадобится им, чтобы сделать эту работу втроем? Хотя эта задача решается элементарной алгеброй или несколькими арифметическими подсчетами, 6ольшинство моих студентов не могли решить ее. Одна студентка написала следующую систему уравнений: Т + Д = 2, Т + Г = 3, Д + Г = 4, получила плохую оценку и спросила, за что. Я, в свою очередь, спросил, что она имела в виду под Т, Д и Г — время или что-то другое. Она сказала, что имела, в виду просто Тома, Дика и Гарри. Я заметил: «Это безграмотность». Русский студент ухватился бы за возможность узнать что-то новое, но американка восприняла это как полный провал, вышла из аудитории в слезах и перестала посещать мои занятия. Я до сих пор жалею об этом, но что еще мог сказать? Этот случай типичен в том смысле, что большинство студентов не хотят обсуждать свои ошибки, воспринимая это как ненужное огорчение. Если ты учишься для знаний, ты можешь извлечь пользу из ошибок. Но если ты учишься для оценок, это чистый мазохизм — перебирать в уме упущенные возможности.
Еще одна задача, которую я включал в свой курс: Гекльберри Финну понадобилось 5 дней, чтобы спуститься по течению Миссисипи на пароходе, и 7 дней, чтобы вернуться обратно на том же пароходе. Сколько времени понадобится ему, чтобы спуститься на то же расстояние на плоту? Ответ можно получить вычислением 2/(1/5—1/7)=35 дней. Только немногие решили задачу, хотя у них было много времени и желания получить обещанную за нее оценку.
На последнем занятии моего курса «бизнес-калькулюса» я дал задачу: Когда в магазин привезли 1000 фунтов огурцов, они содержали 99% воды>. Пока они лежали непроданными, часть воды испарилась и ее содержание упало до 98%. Сколько теперь весят огурцы? Студенты схватились за калькуляторы, но не знали, что с ними делать. Через некоторое время один дал сложный и неправильный ответ. К этому времени предполагалось, что студенты научены решать дифференциальные уравнения! Конечно, они не научились! Они лишь научились следовать готовым рецептам, не думая, — блестящее начало карьеры!
Ладно, согласимся, что большинство людей обойдутся без умения решать дифференциальные уравнения. Но зачем же эти студенты тратили время? Весь курс, учебник, изложение были похожи на предназначенные для будущих профессионалов, с одним «незначительным» изменением: использование рецептов вместо решения задач. Но это изменение погубило весь замысел. Итак, студенты потратили зря несколько месяцев, но не научились решать задачи вовсе, поскольку решение задач предполагает способность мыслить продуктивно, то есть порождать идеи, которые не даны заранее. А вот этому-то их и не учили.
Все задачи, приведенные выше, решаются на уровне средней школы. Решение подобных задач и запись решений — полезный опыт формализованного рассуждения, необходимый почти для каждого в современном мире. У всех нормальных подростков хватит ума, чтобы научиться решать такие задачи, и тот, кто решает их в четырнадцать, вполне может изучать «калькулюс» в восемнадцать. Но у большинства моих студентов, похоже, не было такого опыта. Чем же они так долго занимались в школе? Похоже, по большей части они заполняли клеточки, то есть выбирали правильный ответ среди нескольких уже готовых. Такие тесты удобны, поскольку результаты легко обрабатывать. Очевидно, поэтому их так часто и используют. Возможно, такие тесты дают ценные сведения чиновникам от образования, но они очень ограничивают инициативу учеников, не дают им опыта самоорганизации, делают их работу фрагментарной. Если записывать решения, даже неверные, их можно анализировать и научиться чему-то на своих ошибках. Но если просто ставить крестики в клеточках, вы не запомните, почему сделали именно такой выбор, не сможете проанализировать свои ошибки и извлечь из этого пользу. Вы можете лишь надеяться, что ваши условные рефлексы постепенно улучшатся, но вы лишены возможности контролировать этот процесс, как животное в лабиринте. Конечно, лучше поздно, чем никогда, поэтому я дал такие задачи моим студентам. Но, конечно, я дал их немного, поскольку должен был укладываться в программу курса.
.

PETERPETER

Хорошая статья, хотя и не первая такая...
Правда стоит отметить, что и у нас схожая ситуация - в этом плане довольно хорошо описана группировка:
По отношению к учебе студентов можно поделить на три группы. Одни действительно хотят учиться. Они наиболее разумны, и руководству следовало бы прислушиваться к их мнению, но этого не происходит, поскольку такие студенты никогда не жалуются. Преподаватель может свести свой курс к общеизвестным вещам, прочитать только половину, и никаких неприятностей не будет. Вторая группа — те, кто не знают, чего хотят на самом деле. Они могут и усердно учиться, и тратить время зря — в зависимости от ситуации. А есть студенты, для которых все отношения с университетом сводятся лишь к преодолению еще одного бюрократического препятствия. Все мои попытки заинтересовать их предметом проваливались: я говорил им о математике, а они — о баллах и оценках, которые им надо получить. Вот их-то и слушают чиновники, потому что от них больше всего неприятностей.
И определённый процент тех, кто учится исключительно ради оценок (причём хорошо учится!) существует и у нас, успешно учат и сдают предметы, получают красные дипломы и т.п., без понимания сути изучаемых предметов и без МАЛЕЙШЕГО желания изучить что-то со стороны (что не входит в программу и за что нельзя получить дополнительную оценку) или решить задачку не по курсу. При этом как люди - вполне нормальные, приятные и с хорошими личными качествами...
В США всё это усугубляется тем, что в дальнейшей карьере всем будет пофигу, знает ли человек что-либо или нет, умеет ли он думать, а вот на диплом и балл смотреть будут, и смотреть будут очень внимательно. И дальнейшая карьера будет строиться на балле, а не на способностях... Такова порочная система, когда хочется как лучше, а в итоге получается...

yukos1988

Хочется отметить в дополнение к предыдущему оратору, что не смотря на такое положение дел в образовании научные книги находятся на весьма высоком уровне.

fatality

разумеется
к тому же в действительно крупных центрах, которых мало (Гарвард, Беркли, Принстон, МТИ...) преподавание и студ. контингент на уровне. но наши попадают в основном в рядовые ВУЗы- у меня только один друг (бывший одноклассник) пробился в Беркли, и тот химик

gurich59

пойдём все дружно мыть туалеты в макдональдсах

gurich59

МТИ
MIT?

fatality

да, МИТ

demiurg

Бизнес-калькулюс... тут даже из названия видно, что это лажа. Настоящий математик пошел преподавать экономистам (или как их назвать а чего он хотел? Естественно, его все бесит. В статье все правильно, но относится только к этому курсу в этом университете. Гильберт говорит правильно, но многое зависит так же и не только от университета, но и от курса. (Вообще, практически нет такого понятия как "в общем, в америке", много разных регионов, много разных слоев общества. А в применении к образованию - много разных университетов, и в каждом много разных аудиторий). Мои студенты, например, производят гораздо лучшее впечталение, несмотря на то, что они химики, а я физик, поэтому тоже ожидаю от них бОльшего знания физики (хотя я тоже обычно ворчу, говоря о них )
Кстати, о рецептах... Вот, к примеру, теормех на физфаке преподают тоже подобным образом, как мне кажется, как набор рецептов. И что, это плохо? Некоторые дисциплины "заточены" под это.

vitamin8808

ty prav, chuvak ne ruhaet, on zhe v nachale rasskazal kak u nego s komputershikami vsio normalno bylo.
Predstav'te u nas na ekonfake ili na filfake vyshku prepodavat'. )
Konechno ih matematika ne interesuet -- u nih 5 drugih kursov kotorye sdavat' nado po specialnosti,
im ne do matematiki.

galka1

Поражаюсь широте русской души... Как все за Америку волнуются...

yukos1988

А за неё только волноваться можно.
Все что под боком обсуждать не стоит - делать нужно.

yukos1988

Это кстати относиться не только к САСШ, но и к странам Западной Европы.
Стандартный принцип образования, если говорить в простых словах такой:
1. Выявляем тем, кто хочет и имеет возможность к самостоятельным рассуждениям
2. Попавших в эту группу продвигаем вперед, даем возможность для высококласного образования, формируем элиту страны, действуем под девизом "Талантам нужно помогать, бездарности пробьются сами"
3. Не попавших натаскиваем на быстрое решение стандартных задач, делаем из них хороших специалистов своего дела.
В итоге получаем на выходе достаточно стабильную систему общественного образования и развития народонаселения.

Nefertyty

> В итоге получаем на выходе достаточно стабильную систему
> общественного образования и развития народонаселения.
К тому же можно сказать, что в стане рекордно высока доля граждан с высшим образованием, которое по сути что-то вроде ПТУ.

yukos1988

Высокотехнологичное ПТУ
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: