мехмат - вопрос всем!!!( Теория чисел )

Alena25555

Народ подскажите плз. тупому( по теории чисел).
Есть так называемые бесквадратные числа, т.е. среди его делителей нет ни одного квадрата, отличного от единицы.
функция Q(x) - число бесквадратных чисел, не превосходящих х.
Для него выписана оценка: Q(x) = 3x/Pi^2 + O(sqrt(x
Внимание вопрос!
1) Как получить примерно такую же оценку для чисел без к-х степеней.
2) Св-ва чисел без к-х степеней.
Или дайте ссылку полезную, где это дело можно прочитать, в электронном варианте.
Сам я ни бум-бум. У нас такого курса не было и не будет, тьфу-тьфу )

Alena25555

up

Sanych

Грубо: выкидываются числа, делящиеся на 1/p^k ...
значит получим произведение (1-1/81-1/271-1/125)...(1-1/p^k)...
Оно сходится при k>1. Для обратной к нему величины есть название (дзета-функция). При нечётных k вроде бы почти ничего про точные её значения неизвестно. При чётных -- тоже будет что-то с \pi, как и при k=2. Кстати, при k=2 должно быть 6x/pi^2
Но. Это прикидки, а для точных оценок можно использовать формулу включений-исключений, которая даёт
\sum \mu(n) [x/(n^k)]
\mu(n)- это 0,1 или -1 в зависимости от n,
[x/n^k] -- это целая часть дроби x/n^k
Далее надо смотреть, насколько изменяется значение суммы при убирании всех целых частей.
дробные части для n^k<x
дадут ошибку, не большую корня из x (k'й степени)
А дробные части у слагаемых с n^k>=x оцениваются суммой слагаемых, и чуть менее точно интегралом (x/t^k dt) по t от sqrt[k]{x}-1 до бесконечности. То есть, тоже O большое от корня k'й степени из x.
Вывод: для чисел, не делящихся на k-ю степень, существует оценка N(x)=cx+O(x^{1/k})
(O большое от корня k-й степени из x)
c есть число, обратное к \dzeta (k)=\sum_n(1/n^k)

Alena25555

спасибо большое!

Alena25555

Народ!
Подскажите плз. какие свойста у этих чисел. Хотя бы основные.
Заранее, спасибо!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: