Задача по функану про линейные операторы

Dmitrii084

Задача А*=В*, верно ли что А=В? - вот все условие
Мои пояснения:
А* - сопряженный оператор.
Видимо, операторы линейные, действуют в банаховых пространствах.

sergeychik_a

А*=В*
(А*)*=(В*)*
А=В

mtk79

Даже я прослезился.

Dmitrii084

ага, только вы забыли про равенство областей определения! в нем то и загвоздка.

z731a

A**=A?

Dmitrii084

не факт, про это ничего не сказано, это уже частный случай

mtk79

Если операторы равны - то они действуют в одном и том же пр-ве (опр-е равных отображений). Если же они равны на только каком-то подпространстве - то это не значит, что "они равны"

Dmitrii084

A, B - линейные операторы, действующие из R1 в R2.
A=В <=> Ax=Bx для любого х принадлежащего D(A)=D(B D(.) - область определения.

Dmitrii084

D(A) не обязательно совпадает с R1.

Dmitrii084

пожалуйста, учтите что надо рассмотреть БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫЕ пространства

plugotarenko

Можно ли так?
Берем L^2[0,1] Для удобства, как будет видно, пространство для примера значения не играет.
Один оператор тождественный с областью все пространство.
Второй тоже тождественный, но с областью определения --- ортогональное дополнение к какой-нибудь прямой.
У них сопряженные операторы --- это тождественный с областью определения --- все пространство.
То есть контрпример. Или это жульничество?

Dmitrii084

Абосолютно согласна что нужен контрпример, так как случай слишком общий и гденть они и не равны.
но я не понимаю, зачем у второго оператора область определения - ортогональное дополнение к прямой) тогда же можно еще проще - его область определения - какое-нибудь линейное подпространство. Или я торможу?

plugotarenko

Да, любое подпространство можно брать. Я увлекся описанием ненужных частностей.

Dmitrii084

но я сама пока не разберусь, корректен ли такой контрпример. Мне там все неочевидно я, видимо, слишком сильно заморочилась уже

Dmitrii084

но в любом случае огромное спасибо за здравые мысли

Nat21

Это не контрпример. Ортогональное дополнение, являясь гилб. пр-вом рефлексивно, а поэтому сопр. оператор имеет область опр. равную этому самому дополнению, а не всему L2

Dmitrii084

спасибо огромное, что спасли меня от заблуждения)
но над контрпримером придется еще думать

Nat21

Возьмем для простоты гилб. пр-во H и ограниченный оператор A определенный на всем H.
Пусть A’ есть ограничение A на некотором плотном множестве M’ в H,
и пусть A’’ есть ограничение A на другом плотном множестве M’’ в H.
Тогда A’*=A’’* и определены на всем H*=H

Dmitrii084

спасибо огромное)
вы бы не могли пояснить термин "ограничение", просто в нашем курсе его не вводили. Он случайно не совпадает с термином "замыкание"?

Nat21

Это означает, что A’ определен на плотном множестве M’ и равен на нем A
А что за курс?

Dmitrii084

а как обосновать что A’*=A’’*?

Dmitrii084

Возьмем для простоты гилб. пр-во H и ограниченный оператор A определенный на всем H.
Пусть A’ есть ограничение A на некотором плотном множестве M’ в H,
и пусть A’’ есть ограничение A на другом плотном множестве M’’ в H.
Тогда A’*=A’’* и определены на всем H*=H
K6O6T613 , если в с этим примером не согласны, то плз, укажите в нем вранье

Dmitrii084

Возьмем для простоты гилб. пр-во H и ограниченный оператор A определенный на всем H.
Пусть A’ есть ограничение A на некотором плотном множестве M’ в H,
и пусть A’’ есть ограничение A на другом плотном множестве M’’ в H.
Тогда A’*=A’’* и определены на всем H*=H
если кто-то серьезно и внятно берется ответить, почему здесь A’*=A’’* и определены на всем H*=H, то буду очень благодарна

Nat21

Пусть A:X->Y
Есть такая лемма:
Чтобы представление (Ax,y)=(x,z) единственным образом определяло z из X*,
необходимо и достаточно, чтобы замыкание(D(A=X
Из этой леммы следует, что для решения задачи можно рассуждать проще: если A*=B*, то исходные операторы могли быть определены на разных плотных подмножествах в X.

Dmitrii084

Из этой леммы следует, что для решения задачи можно рассуждать проще: если A*=B*, то исходные операторы могли быть определены на разных плотных подмножествах в X.
все лучше и лучше получается, проще и проще) а можно прям таки совсем конкретный пример, с конкретными операторами?

vovatroff

Конкретный пример легко привести в теории неограниченных операторов.
Можно взять дифференциальные операторы в L2 с разными граничными
условиями, а можно их аналоги в l2 "маленьком". Вот, например: пусть
x=(x1, x2,...) - элемент l2, т.е. числовая последовательность с суммируемым
квадратом. Оператор A1 пусть определен на области
D(A1) = (x=(x1, x2,...) из l2, т.ч. ряд 1*x1^2 + 4*x2^2 + ... + n^2*xn^2+... сходится)
следующим образом: A1 (x1, x2,...) = (1*x1, 2*x2,...n*xn, ...).
Оператор A2 пускай определен тем же соотношением, но на другой области,
содержащей все финитные последовательности вида (x1, x2,..., xn, 0, 0, ...).
Тогда A1* = A1 (самосопряжен но и A2* = A1 тоже.

vladim1949

A(y)=-y''- оператор с областью определения D(A)={y- из C2 [0,1] : y(0)=y(1)=0 }, оператор действует в L2
B(y)=-y''- оператор с областью определения D(B)={y- из W2_2 [0,1] : y(0)=y(1)=0 }, оператор действует в L2
B*=B, A*=B (т.е. А-симетричный, а В-его расширение до самосопряженного)

vovatroff

Как мы одновременно-то откликнулись!

Dmitrii084

Спасибо всем огромное) задача успешно решена
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: