Задачка по топологии(?)

blackout

В R3 дано несколько замкнутых ломаных. Обязательно ли существует поверхность без самопересечений, гомеоморфная сфере или плоскости такая, что пересекает каждую ломаную по конечному непустому множеству точек?

shpanenoc

да :)
Кажется, мне удалось ее построить:
Шаг 1. На каждой ломаной выбираем по одной точке, не являющейся точкой пересечения отрезков разных ломаных. Это, очевидно, возможно, т.к. точек пересечения конечное число.
Шаг 2. Каждую такую точку заключаем в сферу, радиус каждой сферы - эпсилон1. Эпсилон1 подбираем так, чтобы сфера пересекала только одну ломаную (ту, на которой центр) и ровно в двух точках, а сами сферы - не имели общих точек. Это тоже возможно, т.к. каждая ломаная состоит из конечного числа отрезков, а выбранные точки - не точки пересечения, т.е. [math]$\delta$[/math]-отделимы от других ломаных.
Объединение таких сфер - уже поверхность, удовлетворяющая требованиям, но еще не гомеоморфна ни плоскости, ни сфере.
Шаг 3. Пусть у нас N ломаных. Строим плоскость, не касающуюся ни одной из ломаных. Теперь на этой плоскости ставим произвольным образом N точек.
Шаг 4. Каждую k-ю точку соединяем отрезком с центром k-й построенной сферы.
Шаг 5. Наши N точек на плоскости, N центров сферы и исходные вершины ломаных будем считать вершинами графа, а отрезки ломаных и отрезки, построенные на шаге 4 - его дугами.
"Планаризуем" наш граф (т.е. устраняем все пересечения отрезков, построенных на 4-м шаге, с остальными дугами и вершинами графа "изгибая" только отрезки, что построены на шаге 4. Я верю, что это выполнимо конструктивно, но доказывать не буду. Ну верю и все. Теорема есть даже, о "3-D планарности" каждого графа. В общем, тут пока у меня пробел.
Шаг 6. Теперь "утолщаем" наши "отрезки", превращаем их в полые трубки толщины эпсилон2. Эпсилон2 подбираем так, чтобы не появилось новых пересечений ничего ни с чем.
Полученная фиговина - плоскость с торчащими из нее "одуванчиками" на длинных изогнутых ножках, будет удовлетворять требованиям.

shpanenoc

Пробел в доказательстве я устранил - описал конструктивно, как устранить все пересечения. Но мне сложно обойтись без рисунка. Так что оставляю это как упражнение топикстартеру :)

blackout

Вообще исходные ломаные без самопересечений и не пересекаются друг с другом, но видимо это не нужно. Спасибо, похоже на правду.

iri3955

А у ломаных конечное число звеньев? Если да, то можно просто построить карту высот с достаточно малым размером ячейки. Он нужен, чтобы пересечь все ломаные. Конечность точек пересечения следует из ограниченности с обоих сторон размеров треугольников, из которых состоит поверхность. z-ось выбираем так, чтобы в проекции вдоль нее у каждой ломаной существовали точки, не накладывающиеся с другими проекциями
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: