Две простые задачи по выпуклым функциям

stream_24

Коллеги, подскажите, пожалуйста, как доказать, что
1) суперпозиция выпуклых монотонных функций на отрезке - функция выпуклая.
2) определенный интеграл вида \int_{0}^{u}f(x)dx - выпуклая функция аргумента u, если f(x) - монотонная.
Заранее, спасибо!

lenmas

1) супераозиция выпуклх монотонных функций на отрезке - функция выпуклая.
Если внешняя функция - неубывающая. Напиши неравенство Йенсена для внутренней функции, примени к нему внешнюю, потом воспользуйся неравенством Йенсена для внешней.

svetik5623190

А разве определение выпуклого функционала, применённое " в лоб", не помогает?

lenmas

2) определенный интеграл вида \int_{0}^{u}f(x)dx - выпуклая функция аргумента u, если f(x) - монотонная.
Пусть F(u) есть интеграл, написанный выше. Тогда в силу монотонности f
[math]  \begin{multline*}  F(u_1)\geqslant F(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)+f(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)[u_1-(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)]\\  F(u_2)\geqslant F(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)+f(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)[u_2-(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)]\\  \Rightarrow\lambda_1F(u_1)+\lambda_2F(u_2)\geqslant F(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)+f(\lambda_1u_1+\lambda_2u_2)[0],  \end{multline*}  [/math]
то-есть получили неравенство Йенсена для F. Идея слизана с лекций по анализу Гаврилова с мехмата.

stream_24

Всем быстро отреагировавшим огромное спасибо!;)

svetik5623190

нам спасибо сказали :) Прикольно :)

stream_24

Что в этом такого?;)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: