площадь сечения цилиндра сферой

makei

Добрый день, уважаемые форумчане!
Я понимаю, что выпускнику стыдно спрашивать такое, но я уже порядком подзабыл ангем и матан
Как бы мне посчитать площадь сечения сферой(с переменным радиусом r) цилиндра(с заданным радиусом r1 и бесконечной длиной)? Расстояние между осью цилиндра и центром сферы d. Причем интересуют два случая: 1) когда d-r1<r<d+r1, и 2) когда r>d+r1 (будут 2 одинаковых сечения).
У меня есть пара идей, как это посчитать, но хотелось бы быть уверенным в ответе.
Заранее спасибо!

mtk79

давайте пару идей

makei

У меня есть подозрения, что посчитать можно так:
Для первого случая:
Сечение сферой цилиндра - это кусок сферы (x^2+y^2+z^2=r^2 ограниченный некой кривой. Уравнение этой кривой можно получить решая такую систему (центр координат в точке пересечения оси цилиндра и перпендикуляра из центра сферы на эту же ось):
(x-d)^2+y^2+z^2=r^2;
x^2+y^2=r1^2.
Получается как-то так:
y^2=r1^2-x^2;
z^2=r^2+2-d^2-r1^2.
Дальше, должно быть, считается какой-то интеграл, какой уже не помню. Пределы тоже можно прикинуть.

tester1

Вроде это какая-то задача на соображалку и матан тут не нужен. Вроде бы. Хотя хз.

makei

хотя даже лучше начало координат перенести в центр сферы, далее получить уравнение ограничивающего контура в сферических координатах, и проинтегрировать на окружности по обоим углам.

makei

Если так, то будет просто великолепно. Хотя я мне все больше кажется, что получится трехстрочная формула, в таком случае может лучше численно решать.

mtk79

идея здравая. может, без какой-то гениальной простоты — зато в лоб и честно. интеграл не какой-то, а [math]$r^2 \int sin\theta d\theta d\phi$[/math], где за полярную ось лучше выбрать $x$, т.е. центр вырезанного сечения. Тогда по углу фи будет немного симметрии.
О какой окружности идет речь в двух постах?

makei

конечно же речь шла о сфере, я ошибся. сейчас исправил
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: