Как считать условный максимум функции?

kisena01

Есть функция f (вещественная, многих переменных) (скажем x+y+z^2).
Два вида условий: равенства и неравенства (вроде xz+y^4=5 и x^2+y^2 > 1 они задают нек. множество.
Как найти экстремум функции на этом множестве?
Если из условий - только равенства, то я знаю, как (составить ф-цию Лагранжа с неопр. коэф-тами и т.д.) А вот что делать, если есть еще неравенства? Их тоже в функцию Лагранжа включать? Имеет значение, строгие неравенства или нет?

adgika

Да, обязательно включать в функцию Лагранжа

shpanenoc

Есть функция f (вещественная, многих переменных) (скажем x+y+z^2).
Два вида условий: равенства и неравенства (вроде xz+y^4=5 и x^2+y^2 > 1 они задают нек. множество.
Как найти экстремум функции на этом множестве?
Если из условий - только равенства, то я знаю, как (составить ф-цию Лагранжа с неопр. коэф-тами и т.д.) А вот что делать, если есть еще неравенства? Их тоже в функцию Лагранжа включать? Имеет значение, строгие неравенства или нет?
Множество, на котором ищутся экстремумы, может быть одномерным (кривая) или двумерным (область). Скорее всего, в твоем случае будет область.
Задача поиска максимума разбивается на две: поиск внутри области и на ее границе.
Первая решается просто - считаешь частные производные, приравниваешь нулю, находишь точки потенциального экстремума и проверяешь в них, максимум ли это.
Вторая задача решается с помощью функции Лагранжа. Составляешь УРАВНЕНИЕ ГРАНИЦЫ области (например, если область x^2+y^2 < 1, то граница x^2+y^2=1 и именно это условие используешь для построения функции Лагранжа. Получаешь снова точки локальных экстремумов на границе, проверяешь и их на максимум.
Таким образом ищется глобальный экстремум. Как искать локальные - не помню. Проверка на лок.экстремум внутри области простая, а вот на границе как - забыл.

P.S. Если условия задают одномерную область, т.е. кривую, то решать следует только вторую подзадачу.

z731a

Строгие или нестрогие неравенства имеют значение только при непосредственном нахождении (из некой системы) точек эстремума.

shpanenoc

Да, если условия строгие, то на границе все равно следует искать максимум. Если он там есть, то значит внутри области максимума нет, точная верхняя грань значений функции не достигается.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: