Задача по теории меры

valds75

Задача такая: существует ли положительная конечная аддитивная (но не сигма-аддитивная) мера m, определенная на всех подмножествах множества натуральных чисел, что m({n}) = 0 для любого натурального n, но m({1, 2, 3, ...}) = 1?

valds75

Идеи по доказательству?

z731a

существует: A - подмножество N, m(A)=мера лебега(замыкания f(A где f - некоторая биекция из N во множество рациональных точек отрезка [0,1]

valds75

Неверно: разобьем мн-во рациональных чисел на два всюду плотных подмножества. Тогда мера m для каждого из соответствующих подмножеств мн-ва натуральных чисел равна 1, как и мера их объединения - мн-ва всех натуральных чисел. Следовательно, полученная мера не является аддитивной.

stm7543347

А если положить меру каждого множеста, дополнение к которому конечно, равной 1, а всех прочих - 0?

Katty-e

Она не будет аддитивной : мера нечетных и четных чисел по отдельности будет равна 0.

stm7543347

Спс.

railok

Пусть эта мера существует. Ее измеримая алгебра - множество всех подмножеств. Продолжим ее по теореме Каратеодори на наименьшую сигма-алгебру, содержащую ее измеримую алгебру, то есть опять ее саму. Значит расширенная мера будет определена там же, где и исходная и будет с ней совпадать. Значит, если эта мера и существует, то она сигма аддитивная. Противоречие.

valds75

К сожалению, теорема Каратеодори работает только для сигма-аддитивных на полукольце мер:)

vital_m

М.б. не совсем четко, но довести до конца, думаю, можно.
BD* (A) = \limsup_{N \to infty} | A \cap [1,N] | / N
BD_{*} (A) = \liminf_{N \to infty} | A \cap [1,N] | / N
A называется измермым, если BD*(A) = BD_{*} (A) =\mu (A)
Ясно, что \mu( \bf{ N} ) = 1 и \mu ( {n} ) = 0.

valds75

Правильно я понимаю, что такая мера определена только на измеримых (в описанном смысле) множествах? Задача состоит в том, можно ли определить на всех множествах.

vital_m

Уловие того, что мера должна быть определена на всех множествах
я не заметил. Извините.
Могу лишь предложить совсем глупую идею.
BD* определена на всех множествах и является полу--аддитивной.
Нельзя ли продолжить ее на все множества пользуясь
Лебеговской конструкцией продолжения внешней меры?
Иными словами, подойдет ли определеная на всех множествах
внешняя полуаддитивная мера
\mu* (A) = \inf { \sum_i BD* (E_i} | E_i --- образуют \le счетное покрытие A }
для постороения аддитивной меры \mu ?
Необходимо выбрать полукольцо $P$ измеримых множество,
так что семейство { E | \mu* (E \treigol'nik A) \eps } совпадает с
совокупностью всех подмножеств ${\bf N}$.

valds75

В нашем случае нельзя при определении внешней меры пользоваться счетным покрытием. Ведь мера каждой отдельной точки 0, а вместе они образуют все множество. Разве что брать конечные объединения. Но тогда легко построить два таких непересекающихся множества A и B, что BD*(A) = BD*(B) = 1.

vital_m

Я лох.

valds75

Ну, я уже неделю думаю и пока не решил:)

Tfrn

Была вроде задача, о том что демократия невозможна
Не помню точно, но примерно постановка была такая (надеюсь ничего не забыл):
Модель голосования в счетном множестве.
Все подмножества натуральных чисел делятся на два типа -- большие и малые.
Причем, если дизъюнктное объединение двух множеств есть натуральный ряд, то одно из этих множеств большое, а другое -- малое.
Пустое множество -- малое.
Пересечение больших множеств -- большое множество.
Объединение малых -- малое.
Такое можно сделать, если есть диктатура.
То есть один человек решает все голосование:
Множества содержащие допустим единицу -- большие, а остальные -- малые.
А если еще положить все одноэлементные множества малыми -- естественное условие против диктатуры.
Тогда любое конечное множество -- малое, а его дополнение большое.
Если теперь привести такую классификацию множеств, то поставленная задача будет решена.
Мера больших множеств -- единица, а малых -- нуль.
Такое разбиение существует или не существует -- зависит от того принимаем мы там какую-то аксиому или нет (а какую именно не помню -- склероз )

valds75

Спасибо. Если удастся построить такое разбиение - то задача решена. Правда, непонятно как его строить:)

Tfrn

Я не помню решения этой задачи.
Явным образом ты такое разбиение не найдешь!
Это как с континуум гипотезой
Аксиома "Существует множество промежуточной мощности ..."
Если ты ее принимаешь, то оно есть, но явно не обязательно выписывается
Здесь же можно взять за аксиому
"Существует такое разбиение..."
Если ты принимаешь эту гипотезу -- то разбиение существует, иначе -- нет (не совсем конструктивно правда).
Надо лишь доказать, что эту "аксиому" нельзя ни доказать ни опровергнуть, и то есть можно взять за аксиому ее или ее отрицание.

avgustinka

Надо лишь доказать, что эту "аксиому" нельзя ни доказать ни опровергнуть, и то есть можно взять за аксиому ее или ее отрицание.
Всего-то лишь!
Кроме того, даже если принять отрицательную "аксиому", т.е. что разбить нельзя, из этого (мне, по крайней мере ) не очевидно, что такой меры не существует.

vitamin8808

Существует, но явно действительно не строиться.
Сначала строишь функцию "обобщённый предел" : определена на всех ограниченных последовательностях,
для сходящихся равна пределу, линейная, ну там ещё свойства есть, типа "предел" есть
предельная точка последовательности, предел произведения есть произведение пределов, но это уже
не важно.
Строиться через Хана-Банаха или компактификацию Стоуна-Чеха, на выбор. Потом
полагаешь \mu (A)= "LIM" (характеристической функции множества А).
Так как A есть подмножество натуральных чисел, то характеристическая функция последовательность
нулей и единиц, "предел" будет нуль или один. Вот тебе и мера.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: