Функции Морса на RP(n) и CP(n)

svet_lana

Кто-нибудь знает?
C наименьшим числом критических точек?
Спасибо.

Siligrinn

На RP(n) функция x_1/(x_1+...+x_{n+1}) разве не подходит?

svet_lana

А на CP(n) что-то в том же роде должно быть?

Siligrinn

На CP(n) думать надо -- это ведь сфера с ручками, там вопрос о минимальности критических точек не так тривиален.
В том же роде будет \Re z_1/(\sqrt{|z_1|^2+...+|z_{n+1}|^2}).
Кстати, бред в прошлый раз написал, должно быть:
x_1/(\sqrt{x_1^2+...x_{n+1}^2}). А то она была бы не всюду на RP(n) определена.

svet_lana

А такой вопрос еще можно?
Как доказать, что это функции Морса с НАИМЕНЬШИМ числом критических точек?

svet_lana

На CP(n) думать надо -- это ведь сфера с ручками, там вопрос о минимальности критических точек не так тривиален.
В том же роде будет \Re z_1/(\sqrt{|z_1|^2+...+|z_{n+1}|^2}).
Кстати, бред в прошлый раз написал, должно быть:
x_1/(\sqrt{x_1^2+...x_{n+1}^2}). А то она была бы не всюду на RP(n) определена.
-----------------------------------------------------------------------------
Так это вроде даже не функции Морса
Критические точки являются вырожденными...

Sanych

Кажется, действительно "не функции". А вот про вырожденность я сомневаюсь.

svet_lana

В каком смысле не функции? Почему?
Для RP(n) вроде одна критическая точка - x_2=x_3=...=x_n+1=0
но она является вырожденной.

Sanych

Не функции, потому что в одной и той же точке принимают разные значения, в зависимости от выбора координат. При замене всех координат на противоположные результат в формуле меняет знак.

NHGKU2

что такое функции Морса?

svet_lana

Гладкие функции на многообразии, у которых критические точки являются невырожденными.

svet_lana

есть еще соображения по этому поводу?

svet_lana

Barmaglot

функции Морса с НАИМЕНЬШИМ числом критических точек
Число критических точек индекса k функции Морса оценивается через k-мерные числа Бетти

svet_lana

А что это такое?

Barmaglot

Отбросив кручение (конечную часть) группы k-мерных гомологий многообразия, получим Z^k. Тогда k называется k-мерным числом Бетти

svet_lana

Так...
А вариантов, как могут выглядеть сами функции у Вас нет?..

Barmaglot

Для этого надо взглянуть на последовательность групп гомологий. Считал их когда-то для RP(n) и еще много чего, теперь уж не помню …

svet_lana

И их нету

Vikuschechka9

число крит. точек НЕ МЕНЬШЕ соотв. чисел бетти, а так как тут у нас RP^n, то ничего нового из этого соображения не прибавится

svet_lana

А можно ли каким-либо образом по клеточному разложению построить функцию Морса?

svet_lana

HELP! PLEASE!

svet_lana

Sanych

Боюсь, я отвечаю поздно и не полностью. Ну ладно, раз уж получилось, напишу на всякий случай. Функция Морса есть такая: (x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+...+nx_n^2)/(x_0^2+x_1^2+...+x_n^2) в однородных координатах для RP^n
и (|z_1|^2+2|z_2|^2+...+n|z_n|^2)/(|z_0|^2+|z_1|^2+|z_2|^2+...+|z_n|^2) в однородных координатах для CP^n
Критические точки характеризуются ~пропорциональностью дифференциалов числителя и знаменателя. На самом деле, я гарантирую только ответ: оказывается, что все координаты, кроме одной произвольной, должны быть равными 0. Мне, с моими знаниями, проще всего рассмотреть все карты (z_i=1) по очереди и его проверить. Только я это пока поленился проделать - просто верю в то, что всё получится, как на сфере.
Подставив 1 вместо единственной ненулевой координаты критической точки в формулы, можно рассмотреть матрицу вторых производных (в соответствующей локальной карте). Она оказывается диагональной и невырожденной. Поэтому обе функции являются функциями Морса.
Для случая CP^n получается n+1 критическая точка, по 1й на каждую группу (ко)гомологий в чётных размерностях.
Будет ли минимальным количество для RP^n - этого я не знаю.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: