Как решать дифференциальные уравнения такого вида:

NHGKU2

(f'_{x_1}, f'_{x_2}, ..., f'_{x_n}) = (a_1(x a_2(x ..., a_n(x

где f'_{x_i} - частная производная функции f(x_1, ..., x_n) по переменной x_i;
a_i(x) - известные функции.
Я что-то слышал, что нужно находить интегрирующий множитель, но конкретно не знаю..
И ещё: где можно об этом почитать?

NHGKU2

Неужели никто не знает?

griz_a

А чего просто так не решается? Просто взять посчитать дифференциал?

railok

Мб проверить условия коши-римана, а потом задать f как интеграл вдоль пути в Rn?

NHGKU2

В каком смысле "просто так"?
В общем случае a_1 dx_1 + ... + a_n dx_n не является полным дифференциалом некоторой функции, и нужно найти такую функцию b(x) (интегрирующий множитель что ba_1 dx_1 + ... + ba_n dx_n = df(x_1, ..., x_n). В случае n=2 есть методы нахождения интегрирующего множителя в книжках Эльсгольца и Степанова, а в случае произвольного n неясно, что делать.

NHGKU2

Честно говоря, не очень понимаю...
Условия Коши-Римана - это же вроде для C=R^2, а для R^n как?

railok

ну я имел в виду, что перекрестные частные производные должны быть равны
например: dyi/dxj = dyj/dxi
вследствие этого интеграл вдоль пути от вектора частных производных будет зависеть только от начальной и конечной точек в Rn
а потом тупо берешь этот интеграл по самому удобному пути
в итоге получишь искомую ф-цию

NHGKU2

Это, видимо, условие того, что уравнение в полных дифференциалах, т.е. a_1 dx_1 + ... + a_n dx_n = df(x_1, ..., x_n). Тогда да, функция f задаётся интегралом по пути в R^n.
А в моём случае это не так

a7137928

Хм.. я туплю, может, но как, если не вып. условие на перекрестные производные, первоначальная задача может иметь решение?
Если существует функция f такая, что
df / dx_i = a_i, то отсюда
da_i / dx_j = da_j / dx_i

NHGKU2

Да, ты прав.
Я не совсем правильно с самого начала сформулировал задачу. Я так понимаю, что надо найти множитель с(х) (интегрирующий множитель) такой, что если домножить на него правую часть, уравнение будет иметь решение.
Таким образом, нужно следующее: найти какую-нибудь функцию c = c(x_1,...,x_n что ca_1(x)dx_1 + ... + ca_n(x)dx_n есть полный дифференциал некоторой функции f(x_1, ..., x_n). Найти эту функцию f.
Мы выяснили, что при известной c функция f находится несложно. Таким образом, главная задача - в поиске интегрирующего множителя с...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: