Определение 2-го дифференциала

forester_200

Чо-т туплю - не могу добиться ясного понимания определения второго дифференциала. Буду рад, если кто-то из знающих людей наставит на путь истинный.
Что такое первый дифференциал, абсолютно ясно.
Для простоты все рассуждения будем вести в [math]$C^{\infty}({\mathbb R})$[/math]. Рассмотрим произвольную функцию одной независимой переменной [math]$f(x)$[/math]. Зафиксируем произвольную точку [math]$x_0\in{\mathbb R}$[/math] и рассмотрим функцию [math]$(\Delta_{x_0}ft):=f(x_0 +t) - f(x_0)$[/math]. Если эта новая функция представима в виде [math]$(\Delta_{x_0}ft)=At + \alpha (t)t$[/math], где [math]$A$[/math] - константа, а [math]$\alpha(t)$[/math] - бесконечно малая при [math]$t\to 0$[/math], то [math]$f(x)$[/math] называется дифференцируемой в точке [math]$x_0$[/math].
Далее, пусть [math]$f(x)$[/math] дифференцируема во всех точках [math]$x_0\in{\mathbb R}$[/math]. Тогда каждому [math]$x_0$[/math] будет соответствовать своё значение константы [math]$A$[/math], и можно говорить об отображении [math]$x_0\mapsto A(x_0)$[/math]. Легко показать, что в этом случае [math]$A(x)\equiv f'(x)$[/math].
Определение. Дифференциалом функции [math]$f(x)$[/math] называют функцию двух переменных [math]$A(x)t\equiv f'(x)t$[/math].
Итак, дифференциал есть вполне конкретное отображение, которое по функции одной независимой переменной [math]$x$[/math] строит функцию двух независимых переменных [math]$x$[/math] и [math]$t$[/math].
Незабвенный А.М.Седлецкий, широко известный Б.П.Демидович и Википедия определяют второй дифференциал как "дифференциал от первого дифференциала". Но при этом как-то не обращается внимание, что на более ранних этапах определяется только дифференциал от функции одной переменной и ничего не говорится о том, что такое дифференциал функции двух неизвестных!
P.S. Хочется иметь определение, которое не привлекает никаких диффгемовских дифференциальных форм, производных Фреше, Гато и пр. заумностей. Цель - постигнуть определение, опираясь на понятия первой четверти первого семестра обычного курса матанализа (если такое возможно, конечно) ;)

3deus

Хочется иметь определение, которое не привлекает никаких диффгемовских дифференциальных форм, производных Фреше, Гато и пр. заумностей. Цель - постигнуть определение, опираясь на понятия первой четверти первого семестра обычного курса матанализа (если такое возможно, конечно)
Выразите второй дифференциал через предел со "второй смешанной разностью" (кажется так называется).

forester_200

Погуглил, ничего не нашёл :confused:
Даже если и есть нечто с таким названием, оно, видимо, не очень традиционное. А мне нужно что-нибудь более-менее популярное.

antill

зафиксируй некоторое t_1.
тогда f'(x)*t_1 --- функция переменного x, и можно рассматривать её первый дифференциал (относительно переменной х, т.к. t_1 фиксировано который будет линейным отображением, сопоставляющим числу t_2 число f''(x)*t_1*t_2.
тогда второй дифференциал --- это функция от переменных x, t_1, t_2, равная f''(x)*t_1*t_2.
P.S. Хочется иметь определение, которое не привлекает никаких диффгемовских дифференциальных форм, производных Фреше, Гато и пр. заумностей. Цель - постигнуть определение, опираясь на понятия первой четверти первого семестра обычного курса матанализа (если такое возможно, конечно)

Егор! Разберись, плиз, все же в этих понятиях. В дифгеме дифференциал --- это линейное отображение касательных линейных пространств. В функане я тебе и сам объяснял, а если ты не запомнил, то посмотри хотя бы про производную Фреше. Литературы море. Есть Википедия. Когда освоишь эти вещи, тебе будет проще объяснить студентам для тривиального случая прямой.
Имхо твой "лубочный" подход порочен. Если у тебя есть образование, используй его. Иначе в чем ты образованнее твоего ученика --- студента первого курса, прочитавшего учебник по матанализу?

3deus

Даже если и есть нечто с таким названием, оно, видимо, не очень традиционное. А мне нужно что-нибудь более-менее популярное.
d^2 f(x) (u,v) = lim_{a,b -> 0} (f(x+au+bv) - f(x+au) - f(x+bv) + f(x / ab
— второй дифференциал функции f в точке x как функция от двух векторов (чисел) u и v.

forester_200

Один из участников прислал приват:
При этом обычно говорят, что t = dx мы фиксируем и рассматриваем дифференциал как функцию только от одной переменной х. Рассматривая далее ее дифференциал (т.е. дифференциал дифференциала приращение аргумента мы снова полагаем тому же значению t = dx. Тогда d^2f(x) = d(df(x = d(f'(x dx = f''(x) dx dx = f''(x) dx^2.

antill

Выразите второй дифференциал через предел со "второй смешанной разностью" (кажется так называется).
Погуглил, ничего не нашёл
Даже если и есть нечто с таким названием, оно, видимо, не очень традиционное. А мне нужно что-нибудь более-менее популярное.
Это из вычмата, Егор. Есть в общем курсе.
/тут лажа была, вывел в уме формулу неправильно/
в инете см. про конечные разности здесь: http://yandex.ru/yandsearch?text=%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1...
в литературе:
демидович, марон http://yandex.ru/yandsearch?text=%D0%B4%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D0...
 
бахвалов, жидков, кобельков http://yandex.ru/yandsearch?text=%D0%B1%D0%B0%D1%85%D0%B2%D0...
в одной их этих книг вопрос о смешанных разностях любого порядка почти наверняка должен разбираться
помнится, когда-то я вычислял численно производные на неравномерных сетках, у меня были выведены формулы для всех производных, включая пятую. если очень надо, могу найти их или объяснить как сам сможешь вывести. там ничего сложного, просто разложение в формулы тейлора.

antill

d^2 f(x) (u,v) = lim_{a,b -> 0} (f(x+au+bv) - f(x+au) - f(x+bv) + f(x / ab
— второй дифференциал функции f в точке x как функция от двух векторов (чисел) u и v.
прекрасное определение, Егор
рекомендую тебе взять именно его

3deus

d^2 f(x) (u,v) = lim_{a,b -> 0} (f(x+au+bv) - f(x+au) - f(x+bv) + f(x / ab
— второй дифференциал функции f в точке x как функция от двух векторов (чисел) u и v.
------------------------------------------------------
прекрасное определение, Егор
Аналогично выражается дифференциал любого порядка n. Для этого нужно взять предел с n-ой смешанной разностью, т.е. с альтернированной суммой по вершинам n-мерного булева куба.

toxin

Вот-вот. А то все заладили своим "дифференциал от дифференциала". d(dw)=0 для любой дифференциальной формы и всякие t=dx - просто безграмотное махание руками.

forester_200

Добрый день!
Спасибо за участие в трэде. Ещё раз повторюсь, у меня очень скромные цели - ясно понять, что делается в обычных курсах матанализа, а конкретно, понять, какой смысл скрывает таинственная фраза "второй дифференциал есть дифференциал от дифференциала".
Ниже приводится определение так, как я его понял из ответов форумчан и более пристального вчитывания в некоторые классические изложения. Поправьте меня, пожалуйста, если я где-то неправ.
Итак, рассмотрим первый дифференциал [math]$A(x)t\equiv f'(x)t$[/math]. Зафиксируем произвольное число [math]$t_0\in{\mathbb R}$[/math]. Тогда выражение [math]$f'(x)t_0$[/math] есть функция одной переменной [math]$x$[/math], и от неё (а не от первого дифференциала функции [math]$f(x)$[/math], как это пишется во многих курсах!) можно взять дифференциал. Согласно тому, что было написано в старт-посте, этот дифференциал равен [math]$d(f'(x)t_0)=(f'(x)t_0)'t=f''(x)\cdot t_0\cdot t$[/math]. В полученном выражении, придаём переменной [math]$t$[/math] значение [math]$t_0$[/math] (эта процедура из дифференциала, т.е. функции 2-х переменных, делает функцию одной переменной, т.е., вообще говоря, никакой не дифференциал!), получаем [math]$f''(x)\cdot t_0\cdot t_0\equiv f''(xt_0)^2$[/math]. Описанную процедуру можно проделать с любым числом [math]$t_0\in{\mathbb R}$[/math], поэтому можно говорить о построенной таким образом функции [math]$f''(x)t^2$[/math] двух независимых переменых [math]$x$[/math] и [math]$t$[/math].
В итоге, содержание первого и этого постов описывает отображение, которое по каждой функции [math]$f(x)$[/math] одной переменной строит функцию [math]$f''(x)t^2$[/math] двух переменных. Это-то отображение и называется вторым дифференциалом.
Замечания, выделенные жирным, показывают, что второй дифференциал, строго говоря, это никакой не "дифференциал от дифференциала", что фраза эта имеет весьма отдалённое отношение к тому, как в действительности определяется это понятие.
Прав я или по-прежнему блуждаю в потёмках невежества?

otlichnica

я не математик, так что прошу прощения, что вмешиваюсь в вашу дискуссию, но это выглядит странно.
посмотри, у тебя понятие второго дифференциала не должно терять смысл, если x в свою очередь будет функцией чего-нибудь. а процедура фиксации t0 перед его вычислением приведет в таком случае к появлению косяков в формуле
[math]$d^2y=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x$[/math]
или я что-то не то пишу?
ПС в посты Гонобобеля не вникал, мозгов не хватает

forester_200

Привет!
В первых строках старт-поста я ограничил область дискуссий бесконечно гладкими функциями, зависящими от одной независимой переменной:
Для простоты все рассуждения будем вести в [math]$C^{\infty}({\mathbb R})$[/math]. Рассмотрим произвольную функцию одной независимой переменной [math]$f(x)$[/math]...
Про неинвариантность можно будет думать, когда будет ясное понимание, что такое 2-ой дифференциал. Пока же никто не подтвердил правильность моего текста-определения :(

antill

Вот-вот. А то все заладили своим "дифференциал от дифференциала". d(dw)=0 для любой дифференциальной формы и всякие t=dx - просто безграмотное махание руками.
тут путанница терминологическая, ибо слова "дифференциал", "производная", "дифференциальный оператор" похожи, имеют близкий смысл, друг через друга выражаются, но иногда наделяются разными смыслами в рамках разных дисциплин. поэтому если одно понятие взять из одной дисциплины, другое - из второй, а способ связи - из третьей, то получается ерунда.

antill

 
Прав я или по-прежнему блуждаю в потёмках невежества?

Вообще, раз уж ты так серьезно подошел к вопросу и часто бываешь на факультете, мне кажется, было бы полезно уточнить этот момент у кого-то из профессоров, десятилетиями преподающих матанализ на мехмате, например, у Лукашенко. Он человек доброжелательный и, вероятнее всего, найдет время побеседовать с тобой, особенно если ты пояснишь, что ты выпускник мехмата и преподаешь матан в Бауманке.
кстати, раз уж ты хочешь говорить и писать строго, то надо помнить, что f --- это функция, а f(x) --- число. поэтому писать "рассмотрим функцию f(x)" не корректно, надо писать "рассмотрим функцию [math]$[x\longmapsto f(x)]$[/math]". тогда будет значительно понятнее.
 
Замечания, выделенные жирным, показывают, что второй дифференциал, строго говоря, это никакой не "дифференциал от дифференциала", что фраза эта имеет весьма отдалённое отношение к тому, как в действительности определяется это понятие.

насколько я помню, в матане определяется как раз так, как ты пишешь. т.е. "второй дифференциал --- это нечто, получающееся из дифференциала от дифференциала при приравнивании друг другу независимых приращений, возникших при первом и втором взятии дифференциала". Однако лучше уточнить у Лукашенко.
понятие действительно несколько мутное и лично мне в матане это понятие не пригодилось ни разу
другое дело --- функан. там с дифференциалом никаких проблем, потому что производная --- это непрерывный линейный оператор, дифференциал --- значение производной на векторе. а т.к. непрерывные операторы сами образуют топологическое векторное прстранство, то вторая производная берется ровно так же, как и первая, только меняется пространство, в котором функция значения принимала. если хочешь, могу написать подробнее, раз уж это (дифференцирование в ТВП) моя область компетенции.

forester_200

Ваня, большое спасибо за комментарии по существу и совет поговорить с преподавателями. По твоей подсказке состряпал небольшой текстец - видимо, действительно с кем-нибудь (Лукашенко, Шамаровым...) пообщаюсь.
Вань, а как зовут Лукашенко?

Nefertyty

В дифгеме дифференциал --- это линейное отображение касательных линейных пространств.
Ну и в матане так же. Только касательное пространство к R^n в любой точке - это такое же самое R^n, что упрощает дальнейшие объяснения. Причём случай n=1 неинтересен - очень уж мало там линейных отображений, поэтому незачем использовать слово "дифференциал" - хватает производных. Интересно, если n>=2.
Тогда второй дифференциал - симметричное билинейное отображение, определённое в каждой точке, где функция дважды дифференцируема.
Объяснить можно после первого семестра линейной алгебры.

Nefertyty

Ещё раз повторюсь, у меня очень скромные цели - ясно понять, что делается в обычных курсах матанализа, а конкретно, понять, какой смысл скрывает таинственная фраза "второй дифференциал есть дифференциал от дифференциала".
Мне за такие потуги Чубариков на экзамене сказал что-то вроде того, что умные книжки - для умных людей, а мне следовало бы читать его, Чубарикова, учебник. :D

mtk79

Тарас Палыч
Ваня

forester_200

Сто пудов, запамятовал! :D
Спасибо!

lenmas

Сто пудов, запамятовал! :D
Спасибо!
Вам не стыдно вообще с такими вопросами подходить к уважаемым людям?
Читайте учебники нормальные, например, Лорана Шварца "Анализ", там все разжевано до посинения.
Общий смысл определения: первый дифференциал, как функция точки, --- это функция E -> L(E,R
соответственно, второй дифференциал --- это отображение E -> L(E,L(E,R где L(E,F) --- пространство линейных непрерывных операторов банаховых пространств. Это вполне согласуется с тем, что вы понаписали выше для функций одной (или конечного числа) переменной, по модулю того, что сходимость в пространстве операторов по норме совпадает со сходимостью операторов поточечной в случае конечномерных пространств.
Ну нельзя же с такой кашей в голове ходить после окончания мех-мата, к пятому курсу в голове должно все устаканиваться! :)

Vlad128

Это вполне согласуется с тем, что вы понаписали выше для функций одной (или конечного числа) переменной, по модулю того, что сходимость в пространстве операторов по норме совпадает со сходимостью операторов поточечной в случае конечномерных пространств.
или через теорему о рефлексивности гильбертовых пространств

antill

Вам не стыдно вообще с такими вопросами подходить к уважаемым людям?
Читайте учебники нормальные, например, Лорана Шварца "Анализ", там все разжевано до посинения.
Мне кажется, преподавателю матанализа обсудить со старшим коллегой тонкий методический момент, регулярно вызывающий затруднения у студентов --- дело весьма достойное и стыдно тут быть вовсе не должно, потому что не за что.
Да и вообще: не знал и спросил --- дурак 5 минут; не знал и не спросил --- дурак всю жизнь.

antill

Общий смысл определения: первый дифференциал, как функция точки, --- это функция E -
> L(E,R
минуточку.
я бы назвал это не первым дифференциалом, а первой производной. хотя бы потому, что если функция E->R была нелинейная, то и её производная, т.е. функция E -> L(E,R вполне может быть нелинейной, было бы странно ей в этом отказывать. кроме того, дифференециал --- это в любом случае непрерывный оператор, а требовать от производной непрерывности в общем случае как-то неестественно.
вот значение производной в точке --- это уже элемент из L(E,R и вот его как раз и естественно называть дифференциалом. что, кстати, прекрасно согласуется с дифференциальной геометрией, в которой дифференциал функции, отображающей одно многообразие в другое, есть линейное отображение касательных подпространств.
таким образом, производная --- это отображение, ставящее точке в соответствие дифференциал в этой точке.
соответственно, второй дифференциал --- это отображение E -> L(E,L(E,R
по указанным выше причинам это (необязательно линейное или непрерывное) отображение более последовательно было бы незывать второй производной, а вторым дифференциалом называть её значение в точке, т.е. билинейное непрерывное отображение, ставящее двум векторам из E некоторый вектор из R.
где L(E,F) --- пространство линейных непрерывных операторов банаховых пространств.
непрерывных линеных операторов, это да. но разве здесь по существу банаховы пространства? не готов с этим полностью согласиться. мне-то казалось, что вполне достаточно топологических векторных или даже псевдотопологических пространств, главное уметь хоть каким-то образом считать предел [math]$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{f(x+\varepsilon h)-f(x)}{\varepsilon}$[/math]

antill

Это вполне согласуется с тем, что вы понаписали выше для функций одной (или конечного числа) переменной, по модулю того, что сходимость в пространстве операторов по норме совпадает со сходимостью операторов поточечной в случае конечномерных пространств.
или через теорему о рефлексивности гильбертовых пространств
господа, поясните пожалуйста, что вы имеете в виду.
я ничего не понял из написанного :)

lenmas

а требовать производной непрерывности в общем случае как-то неестественно
Имеется в виду непрерывность линейного оператора как функции приращения, а не функции точки.То-есть в E->L(E,R) обозначение E в первом случае для x, а во втором случае для h.

lenmas

но разве здесь по существу банаховы пространства? не готов с этим полностью согласиться. мне-то казалось, что вполне достаточно топологических векторных или даже псевдотопологических пространств
Да, ты прав, но там тяжелей объяснять, что такое производная Фреше и другие производные (только Смолянов вроде навел порядок в этих определениях).

lenmas

не знал и не спросил --- дурак всю жизнь
А "не знал, но подумал --- и сам догадался" не катит? Просто надо спрашивать с некоторой задержкой, а не докучать тривиальными вопросами. Лучше спрашивать по существу.

antill

но там тяжелей объяснять, что такое производная Фреше и другие производные
тяжелей?.. ну это как посмотреть... производные Гато, Адамара, Фреше --- один и тот же приведенный выше предел, только рассматриваемый в разных топологиях
(только Смолянов вроде навел порядок в этих определениях).
он мой научрук как раз :) я же писал несколькими постами выше:
если хочешь, могу написать подробнее, раз уж это (дифференцирование в ТВП) моя область компетенции.

antill

А "не знал, но подумал --- и сам догадался" не катит? Просто надо спрашивать с некоторой задержкой, а не докучать тривиальными вопросами. Лучше спрашивать по существу.
Кактит. Но, насколько я знаю Егора, он человек очень ответственный и вовсе не из тех, кто спрашивает у знакомых, когда можно спросить у гугла. он же уже написал, что читал книжки, но его не удовлетворило написанное.
Егор --- он вообще с кафедры логики. Вот задал бы ты какой-нибудь вопросик в духе "подскажите, как следует понимать слабую невыводимость недостижимости слабо недостижимых кардиналов" (набор слов взят от балды не обидно было бы получить в ответ "не докучайсте с тривиальностями"?

antill

Имеется в виду непрерывность линейного оператора как функции приращения, а не функции точки.То-есть в E->L(E,R) обозначение E в первом случае для x, а во втором случае для h.
я так и понял. так вот по h непрерывность должна быть, а по х --- вовсе не обязательно

lenmas

господа, поясните пожалуйста, что вы имеете в виду.
я ничего не понял из написанного :)
Тут господ вроде нету :)
Имеется в виду, что если взять отображение x |-> f'(x где f'(x)\in L(E,R) --- производная, которая действует по формуле f'(x)h, где h --- приращение из E, то сходимость этого линейного непрерывного функционала можно понимать как сходимость по норме, то-есть f_n->f, если ||f_n-f||->0, или сходимость поточечная, то-есть f_n(h)->f(h) для каждого вектора h из E. Ясно, что в случае конечномерного пространства это равносильно, а в случае бесконечномерных может и не совпадать.
Это обсуждения сходимостей в пространствах линейных операторов только по поводу определения второй производной (я вообще не различаю понятие производной и дифференциала, хотя в матане вроде с этим строго).

lenmas

а по х --- вовсе не обязательно
Да, правильно, производная может быть разрывной.

antill

я вообще не различаю понятие производной и дифференциала
я заметил :D

lenmas

я заметил :D
Ну, в случае всяких общих пространств употребляют "производная по направлению" всегда :)
А математический анализ --- это святое, там всегда надо различать производную и дифференциал, чтобы доказывать их эквивалентность (и то только в случае одной переменной :grin: ).

antill

А математический анализ --- это святое, там всегда надо различать производную и дифференциал, чтобы доказывать их эквивалентность (и то только в случае одной переменной ).
везде, насколько я знаю, в том числе и в матане, моя точка зрения "производная --- это отображение, ставящее точке в соответствие дифференциал в этой точке" работает превосходно.

antill

простите, мне пора на зачет :)

Nefertyty

в том числе и в матане, моя точка зрения "производная --- это отображение, ставящее точке в соответствие дифференциал в этой точке" работает превосходно
как проинтерпретировать запись наподобие dF=a*du+b*dv ?
тут явно работают с dF как с целым, а не определённым в какой-то точке

Vlad128

или через теорему о рефлексивности гильбертовых пространств
господа, поясните пожалуйста, что вы имеете в виду.
я ничего не понял из написанного
Ну я тут вспоминал теорему Рисса-Фреше (тогда не вспомнил название, сейчас нагуглил). Т.е. для отображения гильбертовых пространств производная (по Фреше, скажем, я других не очень знаю) будет линейным отображением (в каждой точке так вот для гильбертовых пространств (в частности, [math]$\mathbb{R}$[/math]) множество линейных отображений изоморфно с изометрией самому пространству, точнее f(x) = <x,y> для некоторого вектора y из того же H. Таким образом и получаем, что f(x) похоже на дифференциал, а y — на производную. Ну точнее, не похожи, а они и есть, если смотреть с позиции матана 1го курса.

antill

как проинтерпретировать запись наподобие dF=a*du+b*dv ?
тут явно работают с dF как с целым, а не определённым в какой-то точке
в данном случае (если мы работаем в смысловом поле матанализа) было, вероятно, какое-то отображение F плоскости в прямую (т.е. вещественная функция двух вещественных переменных и от него взяли дифференциал в некоторой точке. этот дифференциал --- линейное непрервыное отображение, ставящее лежащему в плоскости вектору (du,dv) в соответствие вектор dF на прямой по правилу dF=a*du+b*dv. Если a и b --- просто числа, и мыничего не знаем об исходной функции двух переменных, то сказать ничего о том, дифференциалом в какой точке для этой функции является указанное выше линейное непрерывное отображение, нельзя.
Да, ещё возможно, что тут речь идет о дифференцировании в алгебре, т.е. о линейном отображении, удовлетворяющем правилу Лейбница.
в общем, нужно фиксировать контекст для того, чтобы придать конкретный смысл приведённой тобой формуле

antill

так вот для гильбертовых пространств (в частности, ) множество линейных непрерывных отображений изоморфно с изометрией самому пространству

Nefertyty

ну ты как бы посчитал, что u и v - координаты
но ничто не мешает считать их функциями
в общем, нужно фиксировать контекст для того, чтобы придать конкретный смысл приведённой тобой формуле
ну в общем такую формулу можно написать в разных контекстах
и кажется, что мы понимаем её значение независимо от того, фиксирована (блин, не любил это слово, когда был студентом) точка, или вообще ничего про неё не говорится

antill

ну в общем такую формулу можно написать в разных контекстах
есть универсальный внеконтекстуальный способ трактовки: можно воспринимать её как строку символов :) в отрыве от контекста это самое лучшее, что мы можем предпринять.
и кажется, что мы понимаем её значение независимо от того, фиксирована (блин, не любил это слово, когда был студентом) точка, или вообще ничего про неё не говорится
есть такое понятие в филологии --- концепт. термин несколько многозначный, но, грубо говоря, если у большого количества людей имеются примерно одни и те же ассоциации с некоторым словом (например, "пьянка" то говорят, что это слово представляет концепт. например, "пьянка" --- точно концепт. доказывание того, что нечто является концептом, т.е. прочно вошло в сознание людей, причем примерно одинаковым образом, является одним из направлений научной деятельности лингвистов.
так это я все к тому, что "дифференциал" --- это концепт. поэтомй существует некий (не очень четко очерченный) общий контекст, в рамках которого мы и воспринимаем дифференциальные выражения

Nefertyty

так это я все к тому, что "дифференциал" --- это концепт. поэтомй существует некий (не очень четко очерченный) общий контекст, в рамках которого мы и воспринимаем дифференциальные выражения
ну как бы заумные рассуждения выше я пропустил
по мне - так вопрос в том, можем ли мы воспринимать запись типа "dx", как означающую что-то саму по себе, или она обязана быть в одной формуле с "dF"?
вот Пенроуз пишет (насколько я его понял что довольно случайно вышло так, что можем, хотя изначально челы понимали под этой записью нечто бесконечно малое - а тогда dx не имело смысла в отрыве от dF, если F зависит от х.

antill

по мне - так вопрос в том, можем ли мы воспринимать запись типа "dx", как означающую что-то саму по себе, или она обязана быть в одной формуле с "dF"?
cld; df=0
mov ds, dx

Nefertyty

не еби мозг
это intel или att?

Vlad128

можем ли мы воспринимать запись типа "dx", как означающую что-то саму по себе, или она обязана быть в одной формуле с "dF"?
бугага, мне сразу вспоминаются учебники по физике, где все пишут: а теперь заменим частичный дифференциал на полный: ... дальше по тексту.

Nefertyty

ну физики, они такие
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: