Вопрос про мартингалы

trof-filipp

Пусть [math]$X$[/math] - супермартингал на [math][0,T][/math], выходящий из 1. Пусть [math]$E X_T=1$[/math]. Верно ли, что [math]$X$[/math] - мартингал?

griz_a

[math]$ EX_T-1=E(E(X_T-X_{T-1}|F_{T-1})+E(X_{T-1}-X_{T-2}|F_{T-2})+...+E(X_1-X_0|F_0$[/math]
Слева величина равная 0, справа матожидание от неотрицательной п.н. величины
Значит эта величина почти наверное равна 0.
Отсюда имеем мартингальное свойство

trof-filipp

Можно ли модифицировать доказательство, сделав его более аккуратным? Ведь время непрерывно и возможно [math]$T<1$[/math] .

sverum

Не проблема, просто Frau немного переусложняет. Пусть s < t. Поскольку процесс X - супермартингал, то X(s) >= E[X(t)|F(s)]. Поскольку для любого t выполнено 1 = EX(0) >= EE[X(t)|F(0)] = EX(t) >= EE[X(T)| F(t)] = EX(T) = 1, то EE[X(t)|F(s)] = EX(t) = EX(s) = 1. Отсюда E[X(t)|F(s)] = X(s).

griz_a

О, пардон, я решил что время дискретное :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: