Сечения многогранников в n-мерных пространствах

blondino4ka47

Почитала бы книжки про сечения многогранников в в n-мерных пр-вах.
Вообще, интересны именно правильные симплексы, и их "максимальные" сечения.
 
Например, берем тетраэдр - правильный симплекс, а внутри него сечение:

Если резать тетраэдр двумерной плоскостью, то самое большое число вершин у сечения - 4.
 
Вопрос: если мы возьмем правильный симплекс большей размерности (например, в R^n многогранник с вершинами (1,0,...,0 (0,1,0,...,0 . . . , (0,...,0,1 и будем рассматривать его сечения плоскостями размерности k, проходящими через 0 - как найти "максимальные" сечения (то есть сечения-многогранники, которые имеют наибольшее число вершин)?

Sanych

"Наибольшее" число граней в каком смысле?
Я думаю, что для гиперплоскости (k=n-1) наибольшее число граней будет тогда и только тогда, когда количество вершин по разные стороны от неё отличается не больше чем на 1.
И также, что при k>=2 граней максимальной размерности, то есть (k-2) -мерных в (k-1)-мерном многограннике-сечении, может быть не более n и эта оценка достигается.
В деталях не расписывал, но должно бы получиться.
А вообще, это похоже на задачи линейного программирования. Система уравнений и неравенств и надо уметь описывать выпуклое множество решений. В данном случае - считать какие-то грани.

blondino4ka47

Не совсем правильно спросила.
Конкретно интересует вопрос: когда разность между количеством вершин сечения и его размерностью максимальна?

ЗЫ: поправила и в первом посте.

Sanych

Тогда эта задача должна быть эквивалентна вопросу о размещении n точек на (n-k-1)-мерной сфере такому, чтобы центр был покрыт максимальным количеством (n-k)-мерных тетраэдров. Впрочем, это всего лишь даёт подход к решению для k=n-1, n-2; может быть, для n-3. А для малых k (например, k=3 — многоугольное сечение, максимум n-угольное) это всего лишь способ иначе себе представить происходящее. Так для 4-мерного симплекса, например, получается центр правильного пятиугольника, покрытый 5 треугольниками. И эта картинка отражает возможность построить такое сечение 4-симплекса плоскостью (n=5,k=3 которое будет иметь 5 вершин.
Эквивалентность получается из проектирования вдоль нашей k-мерной плоскости на какое-нибудь (n-k)-мерное трансверсальное ей подпространство, а сфера просто чтобы ещё на 1 уменьшить размерность, может без неё на самом деле даже проще что-то может оказаться, я не знаю. И, так как вершины симплекса можно спроецировать в произвольные точки, то их исходное расположение в n-мерном пространстве - не имеет значения.
PS. Я подумаю, может что придёт в голову. Но пока мне кажется, что равномерное расположение вершин должно быть близко к наилучшему.

blondino4ka47

Вот, кстати, в связи с этим вопрос - может ли сечение выпуклого многогранника иметь больше вершин, чем сам многогранник?

Sanych

может ли сечение выпуклого многогранника иметь больше вершин, чем сам многогранник?
Да, может. Потому что вершины сечения, вообще говоря, соответствуют граням большей размерности исходного многогранника.
Пример: стандартный тетраэдр размерности 4, с 5-ю вершинами e_i
его ребра e_ie_j, их всего 10 штук.
Можно рассмтреть 4-мерную плоскость x_1+x_2=x_3+x_4+x_5. Тогда сечение будет 3-мерным многогранником с 6 вершинами вида (e_i+e_j)/2 где 1<=i<=2 и 3<=j<=5. Похоже на правильную треугольную призму.

blondino4ka47

А жаль. Очень жаль.

Спасибо за участие. Похоже, больше никто не заинтересовался...
Может, тебе просто будет интересно, откуда взялся вопрос:

Я рассматриваю правильные симплексы в n-мерных пространствах и секу их k-мерными плоскостями. В результате получается некий многогранник (число вершин j).
Вообще говоря, интересуют только те многогранники, которые нельзя вложить внутри симплекса в какой-нибудь другой многогранник, но с меньшим числом вершин.
И при этом хочется найти максимум разности j-k по всем k, j.

vit-makovey

откуда такая задача возникла?

blondino4ka47

Ну, вообще из рангов матриц над полукольцами (а конкретно из факторизационного).
В данном случае здесь попытка сравнить обычный ранг над R и факторизационный над R_+.

vit-makovey

Полукольцо - это когда минус единицы нет? И что - вычисляется разность между двумя рангами?
А эта задача откуда возникла?

Sanych

интересуют только те многогранники, которые нельзя вложить внутри симплекса в какой-нибудь другой многогранник, но с меньшим числом вершин
Это важно, но непонятно, если не знать определение факторизационного ранга. Пример: если в многограннике вершин больше, чем в симплексе, то мы его учитываем? Похоже, что нет. Тогда говорить о "максимальном" числе вершин сечения вообще как-то нехорошо. Оно очень часто бывает больше. Так что задача уже получается про то, как многогранники вкладываются друг в друга. Ну либо надо понять, чем характеризуются сечения, количество вершин в которых невозможно уменьшить.

Sanych

Так, например, уже для k=3 мы получим сечения, имеющие n вершин. Но вот насколько можно уменьшить количество вершин в таком сечении, помещая его внутрь многогранника большей размерности, я пока не знаю.
Простейший пример {P:x_k=ak^2+bk+c} — точки, координата которых меняется квадратично.

blondino4ka47



07:01
Ты вообще спишь когда-нибудь?


Это важно, но непонятно, если не знать определение факторизационного ранга. Так что задача уже получается про то, как многогранники вкладываются друг в друга. Ну либо надо понять, чем характеризуются сечения, количество вершин в которых невозможно уменьшить.
Это да. Просто целью моего поста было получить советы по книжкам, поэтому я не стала бухать сюда все нюансы.


Простейший пример {P:x_k=ak^2+bk+c} — точки, координата которых меняется квадратично.
Это пример чего? Что-то неясно...
Во-первых, k по всей видимости не то, что у секущей плоскости.
Во-вторых, сколько точек ты берешь таким образом - 4? (Чтобы сечение было 3х-мерным.) И потом еще надо доказать, наверное, что это будет именно 3х-мерное сечение - а может это очевидно?
Ну, и в-третьих, почему в сечении будет n вершин?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: