Найди ошибку: 1=2

marc

Авторство мое, если на нахождение ошибки уходит больше 30 секунд, буду считать, что шутка удалась :)

Уравнение [math]{\begin{equation*}2f^2(x)-1 = f(2x)\end{equation*}} [/math] для [math]{\begin{equation*}f(x)=cosx\end{equation*}}[/math] верно при любом действительном x.
Дифференцируя,
[math]{\begin{equation*}2 \cdot 2 f(x)f'(x)=2f'(2x)\end{equation*}} [/math], или [math]{\begin{equation*}2 f(x)f'(x)=f'(2x)\end{equation*}} [/math].
Положим [math]{\begin{equation*}x=\frac{\pi}{4}\end{equation*}}[/math], тогда
[math]{\begin{equation*}2 f(x)f'(x)=2\cos \left (\frac{\pi}{4}\right)\left(-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=2\frac{1}{\sqrt 2}\left(-\frac{1}{\sqrt 2}\right)=-1\end{equation*}}[/math], и
[math]{\begin{equation*}f'(2x)=2\left(-\sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(-\sin\left(\frac{\pi} {2}\right)\right)=-2\end{equation*}}[/math] ,
то есть [math]{\begin{equation*}-1=-2\end{equation*}}[/math] , или [math]{\begin{equation*}1=2\end{equation*}}[/math] ,
ч.т.д.

mtk79

ушло 31 сек. — но не смешно.
Если до фейла еще побольше равенств написать — то уйдет еще больше времени! Попробуйте!

Vlad128

т.е. просто дописать множитель 2 в середине каких-нибудь выкладок — это должно быть смешно?

marc

Попробуйте для этого фейла придумать пример покороче - я буду только рада.
Это как бы попытка в 5 элементарных строчках "доказать" 1=2 на несколько иной идее, нежели все эти деления на 0 и бесконечные ряды - тут ли быть настолько занудливыми?

Vlad128

деление на ноль — это хорошо тем, что там каждая операция в независимости почти корректна (если забыть, что нельзя умножать/делить на ноль а тут ты просто пишешь, что f'(2x) = 2f'(2x). Буэ.

makei

ничего особенного
ощущение, что просто кто-то невнимательно переписал предыдущую строчку

marc

да, все дело в некорректности записи f'(2x) - это и производная сложной функции f(2x) в точке x, и производная функции f(x) в точке 2x, что далеко не одно и то же при одинаковой записи.
я понимаю, что пример муторный и многоэтажный, но как бы проще?
f'(2x) = 2f'(2x)

совершенно верно

Vlad128

О, я даже не понял, что в этом дело :) Формула же осознается не посимвольно, я вдруг не забыл, что в предыдущей строчке было, да и к тому же, сразу запоминаешь, что f(x) — косинус, значит и он и его производные больше 1 по модулю быть не могут, сразу бросается в глаза. Совет: забить.

Vlad128

Ну, кстати, если уж на то пошло, то f'(2x) — это однозначно f'(t)|t=2x, по-другому это понимать неверно. Если надо продифференцировать f(2x) по x, то надо писать либо [math]$\frac{d}{dx}(f(2x$[/math], или если очень хочется, то [f(2x)]' = 2f'(2x)

marc

у меня самой была в свое время путаница из-за этого (в гораздо более сложном случае, конечно потому проблема мне интересна...
не поможете придумать пример поизящнее? :)

mtk79

Милая девушка!
Многие, лучшие умы пытались доказать это равенство: Эйлер, Гаусс, Гильберт, Шлёмильх, Димка Брекоткин... Но всяк терпел неудачу! Превзойдите всех их, докажите это без ошибки! Чтобы мы наконец смогли гордиться МГУ!

makei

после того как ты вытащила первую двойку, это уже
 [math]{\begin{equation*}{f'}_{2x}(2x)\end{equation*}[/math]

Vlad128

Ой, такого лучше не писать :) Тем более, что мне кажется, что это неправильно.

Vlad128

Там именно [math]$f'_x(2x)$[/math]

makei

ну типа внизу аргумент, по которому дифференцируют..
или так:
[math]$\frac{d}{d(2x)}f(2x)$[/math]

marc

Ну, кстати, если уж на то пошло, то f'(2x) — это однозначно f'(t)|t=2x, по-другому это понимать неверно. Если надо продифференцировать f(2x) по x, то надо писать либо [math]$\frac{d}{dx}(f(2x$[/math], или если очень хочется, то [f(2x)]' = 2f'(2x)

ну так в том-то и все дело, что это, например, не прописано ни в одном учебнике и перепутать значения выражений очень просто
... чесслово, впечатление, что кто-то ожидал тут увидеть безошибочные рассуждения и сильно разочаровался :)

makei

ну потом вытаскивается двойка и выражение меняется на
[math]$f'_{2x}(2x)$[/math]
т.е. [math]$f'_x(2x)=2f'_{2x}(2x)$[/math]
и после подстановки любого икса уже не нужно вытаскивать еще одну двойку

Vlad128

Ну учебники не могут предусмотреть все возможности неправильного их толкования. С другой стороны не могу себе представить учебника, где бы было написано f'(g(x = f'(g(x g'(x). Там будет либо запись с квадратными скобками, либо что-то типа (fg)'(x0) = f'(y0) g'(x0 y0 = g(x0)

Vlad128

[math]$f'_x(2x)=2f'_{2x}(2x)$[/math]
Не нравится мне это все. Все-таки f'_x — это производная по независимой переменной, а f'_x(...) — подстановка туда ...
А f'_(2x) — это производная по другой функции, так точно можно запутаться, вот у тебя как раз получается, что f'_x — это не то, что я имею в виду.

marc

понимаешь, корявость записи f'(g(x=f'(g(xg'(x) сразу бросается в глаза, но в более сложных случаях f'(2x) и (f(2x' вполне можно спутать ... даже , тут
 
т.е. просто дописать множитель 2 в середине каких-нибудь выкладок — это должно быть смешно?
 
О, я даже не понял, что в этом дело :)

 :grin: :grin: :grin:
как бы придумать не столь бросающийся в глаза вынос коэффициента?

lenmas

Лучше решать уравнение sin x=A. Дифференцируем равенство, получаем cos x=0, откуда x=pi/2+pi*k. :grin:

marc

a нужно получить 1=2

Vlad128

ну это-то оттуда уже можно получить абсолютно честным путем.

iri3955

Ага. Несложно понять, что для тех же x выполнено, что sin x = 2A (так же, дифференцированием откуда
A = 2A или
1 = 2

marc

A = 2A или
1 = 2

ну или А=0

Vlad128

там A самому можно задать, так что можно сделать не нулем.

marc

да, это, пожалуй, единственное упущение

Vlad128

Чего вы от нас хотите? :grin:

marc

Чего вы от нас хотите?

вы же поняли суть не удавшегося для мехматян примера (а знакомого гуманитария только что впечатлило хочу вот чего:

т.е. просто дописать множитель 2 в середине каких-нибудь выкладок — это должно быть смешно?
 
О, я даже не понял, что в этом дело :)

 :grin: :grin: :grin:
как бы придумать не столь бросающийся в глаза вынос коэффициента?

stm7543347

В тривиальном поле, а также при тривиальном равенстве, это равенство, очевидно, верно безо всяких косинусов.

sweettydo

как бы придумать не столь бросающийся в глаза вынос коэффициента?
элементарно! надо 8 страниц выкладок, обязательно с интегрированием, дифференцированием, взятием оператора набла, подсчетами условных матожиданий, и где-нибудь в середине нужно дописать двоечку. Никто ваще такое читать не будет, все просто будут вежливо охуевать от результата, и ошибку никто не найдет.

griz_a

Вот вам:
[math]$ 1 = 2. $[/math] Предположим, что это не так. Тогда [math]$1 !=2 $[/math]. Но [math]$1!=1$[/math], следовательно [math] $ 1=2$[/math]. Доказано

Lokomotiv59

класс :grin:

marc

элементарно! надо 8 страниц выкладок, обязательно с интегрированием, дифференцированием, взятием оператора набла, подсчетами условных матожиданий, и где-нибудь в середине нужно дописать двоечку. Никто ваще такое читать не будет, все просто будут вежливо охуевать от результата, и ошибку никто не найдет.

Очень оригинально и остроумно, спасибо.
Мой научник для лучшего понимания той или иной теоремы предлагал строить примеры, доказывающие необходимость каждого ее условия (если убрать условие – вывод уже неверен).
Есть особый жанр, примерно похожий: на ту или иную возможную ошибку придумать вывод 0=1, легкий и короткий (скажем, не более 10 строчек формул) – т.е. ваши 8 страниц не подойдут.
Мехматянин в любом (!) таком найдет ошибку с первого прочтения – это понятно (куда труднее с длинными сложными громоздкими выкладками – и профессиональные математики нередко ошибаются, причем осознают ошибку только придя к заведомо неверному заключению).
Но попробуйте рассказать то гуманитарию, осилившему дифференцирование, комментируя строчку с ошибкой "f'(2x) – это 2 умножить на производную, минус синус, в пи пополам" – не думаю, что каждый мгновенно сообразит, в чем дело. Я попробовала, и посля ряда экспериментов кажется, что этот пример вполне подходящий (разве что дробей многовато, но предложений по-прежнему жду а то, что выпускникам мехмата все сразу очевидно и неинтересно – отнюдь не показатель, а в таких случаях имхо надо быть проще и не ждать чудес. Кажется, я все, дифференцируйте лучше [math]{\begin{equation*}       x^2=\underbrace{x + \cdots + x}_{x раз}          \end{equation*}}  [/math]
:)

lenmas

Но [math]$1!=1$[/math]
Но это же неверно :confused:

mtk79

Вот пример покороче:
рассмотрим обобщенную функцию [math]$P(x)=x \delta(x)$[/math]. По свойствам произведения бесконечно дифференцируемой (х) на обобщенную это произведение определено и равно ноль-функции. Тогда и дейcтвие ее на функцию [math]$g(x)=1/x$[/math] тождественно равно нулю, т.е. [math]$\int P(x) g(x) dx \equiv 0$[/math], а, значит, равно действию ноль-функции на единичную функцию 1(х):
[math]$0=\int 0 \cdot 1 dx =(0(x1(x $[/math]
С другой стороны, [math]$\int P(x) g(x) dx=\int x \delta(x)/x dx=\int  \delta(x) dx=\int  \delta(x) \cdot 1\,dx=(\delta(x1(x) )$[/math], т.е. равно действию дельта-функции на 1(х).
Прибавим слева и справа 1(x) к обеим обобщенным функциям (т.е. к 0(х) и [math]$\delta(x)$[/math] действующим на 1(х и проинтегрируем от -1/2 до +1/2:
[math]$\int\limits_{-1/2}^{1/2} (0+1) \cdot 1 dx= \int\limits_{-1/2}^{1/2} [\delta(x)+1] \cdot 1 \, dx  $ [/math]
Вычисляя, получим 1=2

lenmas

Не, слишком прозрачно :)

fabio

ну ты же явно на ноль поделил

mtk79

Вы это так говорите, как будто это что-то плохое
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: