[урматфиз] подскажите функцию грина для задачи дирихле

vtdom79

Область - шаровой слой r1<r<r2, пространство трехмерное. Или подскажите справочник, где можно посмотреть сабж.

Hana7725

Самое простое методом отражений построить.

vtdom79

пытался, но что-то не очень получается.

borisnestorov

Там ряд должен получиться похоже. Аналогичная задача для полосы есть в задачнике под ред. Владимирова (№17.3)

Hana7725

Ну, по идее, надо взять инверсию первой сферы относительно второй, второй относительно первой и т.д. Всех относительно всех, в общем :) Типа группа с двумя образующими. Т.е. при инверсии от относительно двух первоначальных сфер множество не должно меняться. Вроде сгущаться этот набор сфер будет только к нулю. Затем надо взять инверсию точки x -> x_k относительно всех этих сфер. Если обозначить через H_i(x) инверсию через i-ю сферу, то точки x_k получаются конечными композициями вида H_1H_2H_1H_2... и H_2H_1H_2H_1... Тогда, как обычно в методе отражений, сумма фундаментальных решений Z(x_k-y) со знаками плюс-минус и будет функцией Грина.

Lene81

[math]  $$  G(\mathbf{x},\mathbf{x}') = 4\pi\sum\limits_{l=0}^{\infty}{\sum\limits_{m=-l}^{l}  {\dfrac{Y_{lm}^{*}(\theta', \phi') Y_{lm}(\theta, \phi)}{(2l+1)\left[1-\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2l+1} \right]}\left(r_{<}^l -\dfrac{a^{2l+1}}{r_{<}^{l+1}}\right)\left(\dfrac{1}{r_{>}^{l+1}}-\dfrac{r_{>}^l}{b^{2l+1}}\right)}}  $$  [/math]
a — внутренний радиус, b — внешний. Ссылка: Jackson J.D. «Classical Electrodynamics», 1962, Wiley&Sons, p. 81
Решается методом разложения фции Грина в ряд по собственным ф-цям оператора Лапласа, раздел 3.11, формула 3.160

vtdom79

спасибо. А что за функции [math]$Y^*_{lm},Y_{lm}$[/math] и [math]$\theta ', \phi '$[/math] ? Первые - я так понимаю, функции Бесселя? А переменные со штрихами? Симметричные переменным без штрихов относительно центра или одной из сфер?

mtk79

Первые - я так понимаю, функции Бесселя? А переменные со штрихами?
незачет по урматфизу не за горами!

Hana7725

Не, это сферические функции. См., например, Владимиров "уравнения мат. физики". А штрихи означают, что это x' в сферических координатах.

vtdom79

я уже сдал. Нам такое не давали на парах, а сейчас оказалось нужным.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: