[need help][тер_вер][функан]

urka3000

Помогите с доказательством:
доказать эквивалентность слабой сходимости последовательности функций распределения к Ф и равномерной сходимости посл.ФР к Ф
Ф - вроде как может быть любой непрерывной ФР.

griz_a

Теорвер тут не причем.
Хочешь доказать, что монотонные функции между 0 и 1 если сходятся поточечно к непрерывной, то сходятся равномерно?
Пусть [math]$F_n$[/math] поточечно сходятся к F
Возьмем [math]$a_i=F^{-1}(i/m)$, $i=0..n$[/math]. Из непрерывности и монотонности с этим проблем не возникнет.
Из поточечной сходимости [math]$\forall \epsilon$ $\exists N:$ $\forall i$ $\forall n>N$ $|F_n(a_i)-F(a_i)|<\epsilon/2$[/math]
С другой стороны для [math]$x \in (a_i, a_{i+1})$[/math]
[math]$|F_n(x)-F(x)|\leq max(F_n(a_{i+1})-F(a_i F(a_{i+1})-F_n(a_i=max(F_n(a_{i+1})-F(a_{i+1})+1/m, F(a_i)+1/m - F_n(a_i\leq \epsilon/2+1/m$[/math]
Отсюда легко следует требуемое

lenmas

Круто. :ooo:
А там и для полубесконечных интервалов проблем не возникает?

griz_a

Когда a_0 и a_n - край интервала?
Так я вроде самими значениями a_i не пользуюсь, а неравенства из монотонности для плюс минус бесконечности верны
Типичные проблемы с равномерной сходимостью на бесконечности для монотонных функций от 0 до 1 не актуальны

lenmas

Тогда я не понял первое неравенство из главной оценки. Там же разности могут быть отрицательными :confused:
Причем на конечном отрезке я не спорю, утверждение безусловно верно.

griz_a

[math]$|F_n(x)-F(x)|=max(F_n(x)-F(x F(x)-F_n(x\leq max(F_n(a_{i+1})-F(a_i F(a_{i+1})-F_n(a_i$[/math]
Какая разница, бесконечны они или нет?
Но если тебе хочется неравенство на бесконечных отрезках отдельно, то для x из (a_0, a_1)
[math]$|F_n(x)-F(x)|<max(1/m-F_n(x F_n(x<max(1/m, F_n(a_1)-1/m+1/m)$[/math] Это меньше эпсилон из сходимости в точке a_1 и малого m.

urka3000

хм.. спасибо

lenmas

А почему F_n(x) меньше эпсилон? Они же могут на бесконечности неравномерно сходиться априори?
У меня вопрос больше даже такой. Вот ты написал, что модуль разности меньше там этого максимума. Мне непонятно почему оба числа из максимума не могут оказаться одновременно отрицательными. Ты же без модулей пишешь под максимумом. Извини, я просто не вникал в задачу, поэтому задаю тупые вопросы, безо всяких смыслов.

lenmas

А, все, кажется, понял. Последнее доказательство вроде прозрачное :)
Спасибо за терпение!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: